TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 124

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Welche der Eigenschaften Reflexivität, Symmetrie, Antisymmetrie und Transitivität hat die folgende Relation R auf \mathbb{Z}:

m R n  \Leftrightarrow m^2 = n^2

Hilfreiches[Bearbeiten]

Reflexivität
Reflexivität[Bearbeiten, WP, 1.55 Definition]

\forall a\in M:\quad aRa

Symmetrie
Symmetrie[Bearbeiten, WP, 1.55 Definition]

\forall a,b \in M: aRb \Rightarrow bRa

Antisymmetrie
Antisymmetrie[Bearbeiten, WP, 1.60 Definition]

\forall a,b\in M:\quad aRb\wedge bRa\Longrightarrow a=b

Transitivität
Transitivität[Bearbeiten, WP, 1.55 Definition]

\forall a,b,c\in M:\quad a\circ b\wedge b\circ c\Rightarrow a\circ c

Vorüberlegungen[Bearbeiten]

Zuerst mal eine kleine Skizze:

Bsp100 skizze.png

Hilfreich ist es auch, mal einen kleinen Teil der Lösungsmenge aufzuschreiben:

L = { ... (-2,-2), (-2,2), (2,-2), (-1,-1), (-1,1), (1,-1), (0,0), (1,1), (2,2) ... }

Reflexivität[Bearbeiten]

Reflexivität heißt, dass jedes Element in Relation zu sich selbst steht:

 \forall \text{ a } \in \text{ A }: \text{ (a,a) } \in \text{ R }

Ja, da m = n und  \text{L } \forall \text{ ( m = n ) } = {... (-2,-2), (-1,-1), (0,0), (1,1), (2,2) ...}.

Symmetrie[Bearbeiten]

Symmetrie heißt, wenn für alle a,b mit aRb auch bRa folgt.

 \forall \text{ a,b } \in \text{ }A^2: \text{ (a,b) } \in \text{ R } \qquad \Rightarrow \qquad \text{ (b,a) } \in \text{ R }

Ja, trifft zu.

Antisymmetrie[Bearbeiten]

R heisst anti-symmetrisch wenn aus aRb und bRa stets a=b folgt.

Nein, das trifft nicht zu.

Erklärung:

Es gibt auch unterschiedliche Werte bei denen die Relation gilt, zB 2^2 = (-2)^2 und (-2)^2 = 2^2

Bei der Antisymetrie müssten es jedoch die selben sein.

Transitivität[Bearbeiten]

Eine Relation R transitiv, wenn gilt: (a,b) aus R UND (b,c) aus R FOLGT (a,c) aus R

 \forall \text{ a,b } \in \text{ R }: \text{ (a,b) } \in \text{ R } \wedge \text{ (b,c) } \in \text{ R } \qquad \Rightarrow \qquad \text{ (a,c) } \in \text{ R }

Untersuchen wir:

   a    b   ||   b   c   ||    a    c
  -1   -1   ||  -1  -1   ||   -1     -1    Erfüllt!!!
   1    1   ||   1   1   ||    1      1    Erfüllt!!!
   4    4   ||   4   4   ||    4      4    Erfüllt!!!

Somit liegt eine Transitivität vor! Und somit sind alle Bedingungen für eine Äquivalenzrelation erfüllt.

Danksagung[Bearbeiten]

Dank an Ingo Rodax für den Hinweis auf einen Fehler! --Mnemetz 15:01, 15. Nov 2005 (CET)

Ressourcen[Bearbeiten]

Andere Beispiele[Bearbeiten]

Vorlesungen[Bearbeiten]

Foren[Bearbeiten]

Websites[Bearbeiten]