TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 125

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Welche der Eigenschaften Reflexivität, Symmetrie, Antisymmetrie und Transitivität haben folgende Relationen R auf \mathbb{Z}:

m R n  \Leftrightarrow m^4 = n^4

Hilfreiches[Bearbeiten]

Reflexivität
Reflexivität[Bearbeiten, WP, 1.55 Definition]

\forall a\in M:\quad aRa

Symmetrie
Symmetrie[Bearbeiten, WP, 1.55 Definition]

\forall a,b \in M: aRb \Rightarrow bRa

Antisymmetrie
Antisymmetrie[Bearbeiten, WP, 1.60 Definition]

\forall a,b\in M:\quad aRb\wedge bRa\Longrightarrow a=b

Transitivität
Transitivität[Bearbeiten, WP, 1.55 Definition]

\forall a,b,c\in M:\quad a\circ b\wedge b\circ c\Rightarrow a\circ c

Lösungsvorschlag[Bearbeiten]

Allgemeine Betrachtung[Bearbeiten]

Hier ist wichtig zu erkennen, dass durch die vierte Potenz das Vorzeichen der Zahlen in der Menge \mathbb{R}, auf die wir unsere Relation anwenden, immer positiv wird. Dadurch kann man sagen, dass m und n immer dann in Relation zu einander stehen, wenn ihr Betrag gleich ist. Diese Betrachtung ist für die Symmetrie entscheidend.

Reflexivität[Bearbeiten]

Nachdem m^4 = n^4, n := m \Rightarrow m^4 = m^4 gilt, ist die Relation reflexiv, da jedes Element in Relation zu sich selbst steht.

Beispiel: \{ \ldots, (-2, -2), (-1, -1), (0, 0), (1, 1), (2, 2), \ldots \}

Symmetrie[Bearbeiten]

Nachdem m^4 = n^4 gilt und n^4 = m^4 dasselbe ist, ist die Relation symmetrisch (siehe auch Allgemeine Betrachtung).

Beispiel: \{ \ldots, (-2, 2), (-2, -2), (-1, 1), (-1, -1), (0, 0), (1, 1), (1, -1), (2, 2), (2, -2), \ldots \}

Antisymmetrie[Bearbeiten]

Antisymmetrie bedeutet, dass m^4 = n^4 \Rightarrow m = n. Wie wir bei der Symmetrie aber schon gesehen haben, ist das nicht zwingend erforderlich:

m^4 = n^4
\pm \sqrt[4]{m^4} = \pm \sqrt[4]{n^4}
\pm m = \pm n

Beide Zahlen können entweder positiv, negativ oder nur eines von beiden sein. Sie sind aber nicht zwingend identisch, insofern ist die Relation nicht antisymmetrisch.

Frage: Durch das Potenzieren sind m und n doch zwingend ident.

Transitivität[Bearbeiten]

\forall m, n, o \in \mathbb{Z}: (mRo \land oRn) \Rightarrow mRn

m^4 = o^4
o^4 = n^4
\Rightarrow m^4 = n^4

Somit ist die Relation auch transitiv.

-- Superwayne 15:48, 26. Nov. 2014 (CET)