TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 130

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Welche der Eigenschaften Reflexivität, Symmetrie, Antisymmetrie und Transitivität haben folgende Relationen auf :

m R n
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Hilfreiches[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Reflexivität
Reflexivität[Bearbeiten, Wikipedia, 1.55 Definition]

Symmetrie
Symmetrie[Bearbeiten, Wikipedia, 1.55 Definition]

Antisymmetrie
Antisymmetrie[Bearbeiten, Wikipedia, 1.60 Definition]

Transitivität
Transitivität[Bearbeiten, Wikipedia, 1.55 Definition]

Lösungsvorschlag[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Allgemeine Betrachtung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hier ist wichtig zu erkennen, dass durch die vierte Potenz das Vorzeichen der Zahlen in der Menge , auf die wir unsere Relation anwenden, immer positiv wird. Dadurch kann man sagen, dass und immer dann in Relation zu einander stehen, wenn ihr Betrag gleich ist. Diese Betrachtung ist für die Symmetrie entscheidend.

Reflexivität[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Nachdem gilt, ist die Relation reflexiv, da jedes Element in Relation zu sich selbst steht.

Beispiel:

Symmetrie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Nachdem gilt und dasselbe ist, ist die Relation symmetrisch (siehe auch Allgemeine Betrachtung).

Beispiel:

Antisymmetrie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Antisymmetrie bedeutet, dass . Wie wir bei der Symmetrie aber schon gesehen haben, ist das nicht zwingend erforderlich:

Beide Zahlen können entweder positiv, negativ oder nur eines von beiden sein. Sie sind aber nicht zwingend identisch, insofern ist die Relation nicht antisymmetrisch.

Frage: Durch das Potenzieren sind m und n doch zwingend ident.

Transitivität[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Somit ist die Relation auch transitiv.

-- Superwayne 15:48, 26. Nov. 2014 (CET)