TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 129

Untersuchen Sie, ob es sich bei den folgenden Relationen $R \subseteq A \times B$ um Funktionen, injektive Funktionen, surjektive Funktionen bzw. bijektive Funktionen handelt.

$R = \left\lbrace \left(\sqrt x,\frac{1} {x}\right) \ | \ x \in \mathbb{R}^{+} \right\rbrace, A = B = \mathbb{R^+}$

Hilfreiches

Funktion

Eine Funktion oder Abbildung $f : A \to B$ von $A$ nach $B$ ist eine Relation $R_{f} \subseteq A \times B$ mit der Eigenschaft, dass zu jedem $a \in A$ genau ein $b \in B$ mit $aR_{f}b$ existiert. Man schreibt dafür $b = f(a)$. Der Graph einer Funktion $f : A \to B$ ist die Menge $\{(a, f(a))|a \in A\} \subseteq A \times B$.

Injektivität

"Verschiedene Elemente der Definitionsmenge werden auf verschiedene Elemente der Zielmenge abgebildet":

$a_{1}, a_{2} \in A, a_{1} \neq a_{2} \Rightarrow f(a_{1}) \neq f(a_{2})$

oder äquivalent:

$a_{1}, a_{2} \in A, f(a_{1}) = f(a_{2}) \Rightarrow a_{1} = a_{2}$

Surjektivität

Jedes Element der Zielmenge tritt mindestens einmal als Funktionswert auf:

$\forall b\in B\ \exists a\in A: b=f(a)$

Bijektivität

Eine Funktion ist bijektiv, wenn Injektivität & Surjektivität vorliegt.

Diese Eigenschaft impliziert die Existenz einer Umkehrfunktion $f^{-1}()$.

Lösungsvorschlag

Grundlegende Überlegungen

$\R^+ = \{ x \in \R | x > 0 \}$

$\R^+_0 = \{ x \in \R | x \geq 0 \}$

Zuerst sollte man sich überlegen, mit welchen Funktionen man es hier überhaupt zu tun hat.

Zuerst $\sqrt x$:

Per Definition gilt:

$\sqrt x \colon \R^+ \to \R^+$

$\frac 1x \colon \R \backslash \{0 \} \to \R$

Aber weil hier gilt $x \in \R^+$ folgt $\frac 1x \colon \R^+ \to \R^+$

Funktion

Damit die Relation eine Funktion ist muss jedes $a \in A = \R^+$ genau einem $b \in B = \R^+$ zugeordnet werden.

Nun zuerst bildet $\sqrt x \quad A = \R^+$ auf $B' = \R^+$ ab. Und dann wird $B' = \R^+$ durch $\frac 1x$ auf $B=\R^+$ abgebildet.

Wichtig ist es hier zu erkennen, dass

• jedes $a \in A = \R^+$ abgebildet wird (es gibt keine Bereiche/ Werte in $\R^+$ die man nicht in die beiden Funktionen einsetzen dürfte)
• jedes $a \in A = \R^+$ auf nur genau ein $b \in B = \R^+$ abgebildet wird (es kann nicht passieren dass für ein $a \in A = \R^+$ mehrere $b \in B = \R^+$ möglich sind)

Daher sind die Vorrausetzungen für eine Funktion erfüllt und die Relation ist eine Funktion.

$f \colon \begin{cases} \R^+ \to \R^+\\ \sqrt x \mapsto \frac 1x \end{cases}$

Nachdem $\sqrt x$ (nach Definition) bijektiv gibt es eine Umkehrfunktion davon und man kann die Funktion noch etwas einfacher darstellen:

$f \colon \begin{cases} \R^+ \to \R^+\\ x \mapsto \frac {1} {x^2} \end{cases}$

Injektivität

$\frac {1} {x^2}$ ist in $\R^+$ injektiv, weil für alle $a_1, a_2 \in A : a_1 \neq a_2 \Rightarrow f(a_1) \neq f(a_2)$ gilt. (es gibt alle keine Funktionswerte die doppelt vorkommen)

Anmerkung:

In $\R$ gilt das aber natürlich nicht mehr: $\frac {1} {(-1)^2} = \frac {1} {1^2}$ Was ist mit wurzel(-2)? Deshalb kann die funktion f(x)=wurzel(x) nicht bijektiv sein, oder?

Surjektivität

$\frac {1} {x^2}$ ist in $\R^+$ surjektiv, weil $\forall b \in B \exist a \in A : b = f(a)$ gilt. (für jedes Element des Bildbereichs B lässt sich ein zugehöriges Element aus dem Definitionsbereich A finden)

Auch das gilt nicht für ganz $\R$

Bijektivität

nachdem die Funktion sowohl injektiv als auch surjektiv ist, ist die Funktion automatisch auch bijektiv