TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 129

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Untersuchen Sie, ob es sich bei den folgenden Relationen  R \subseteq A \times B um Funktionen, injektive Funktionen, surjektive Funktionen bzw. bijektive Funktionen handelt.

R = \left\lbrace \left(\sqrt x,\frac{1} {x}\right) \  | \  x \in \mathbb{R}^{+} \right\rbrace, A = B = \mathbb{R^+}

Hilfreiches[Bearbeiten]

Funktion
Funktion[Bearbeiten]

Eine Funktion oder Abbildung f : A \to B von A nach B ist eine Relation  R_{f} \subseteq A \times B mit der Eigenschaft, dass zu jedem a \in A genau ein b \in B mit aR_{f}b existiert. Man schreibt dafür b = f(a). Der Graph einer Funktion f : A \to B ist die Menge \{(a, f(a))|a \in A\} \subseteq A \times B.

Injektivität
Injektivität[Bearbeiten, WP, 1.65 Definition]

"Verschiedene Elemente der Definitionsmenge werden auf verschiedene Elemente der Zielmenge abgebildet": a_{1}, a_{2}  \in  A, a_{1} \neq a_{2} \Rightarrow f(a_{1}) \neq f(a_{2}) oder äquivalent: a_{1}, a_{2}  \in  A, f(a_{1}) = f(a_{2}) \Rightarrow a_{1} = a_{2}

Surjektivität
Surjektivität[Bearbeiten, WP, 1.65 Definition]

Jedes Element der Zielmenge tritt mindestens einmal als Funktionswert auf: \forall b\in B\ \exists a\in A: b=f(a)

Bijektivität
Bijektivität[Bearbeiten, WP, 1.65 Definition]

Eine Funktion ist bijektiv, wenn Injektivität & Surjektivität vorliegt. Diese Eigenschaft impliziert die Existenz einer Umkehrfunktion  f^{-1}().

Lösungsvorschlag[Bearbeiten]

Grundlegende Überlegungen[Bearbeiten]

\R^+ = \{ x \in \R | x > 0 \}

\R^+_0 = \{ x \in \R | x \geq 0 \}

Zuerst sollte man sich überlegen, mit welchen Funktionen man es hier überhaupt zu tun hat.

Zuerst \sqrt x:

Per Definition gilt:

\sqrt x \colon \R^+ \to \R^+

\frac 1x \colon \R \backslash \{0 \} \to \R

Aber weil hier gilt x \in \R^+ folgt \frac 1x \colon \R^+ \to \R^+

Funktion[Bearbeiten]

Damit die Relation eine Funktion ist muss jedes a \in A = \R^+ genau einem b \in B = \R^+ zugeordnet werden.

Nun zuerst bildet \sqrt x \quad A = \R^+ auf B' = \R^+ ab. Und dann wird B' = \R^+ durch \frac 1x auf B=\R^+ abgebildet.

Wichtig ist es hier zu erkennen, dass

  • jedes a \in A = \R^+ abgebildet wird (es gibt keine Bereiche/ Werte in \R^+ die man nicht in die beiden Funktionen einsetzen dürfte)
  • jedes a \in A = \R^+ auf nur genau ein b \in B = \R^+ abgebildet wird (es kann nicht passieren dass für ein a \in A = \R^+ mehrere b \in B = \R^+ möglich sind)

Daher sind die Vorrausetzungen für eine Funktion erfüllt und die Relation ist eine Funktion.

f \colon \begin{cases}

  \R^+ \to \R^+\\
  \sqrt x \mapsto \frac 1x
\end{cases}

Nachdem \sqrt x (nach Definition) bijektiv gibt es eine Umkehrfunktion davon und man kann die Funktion noch etwas einfacher darstellen:

f \colon \begin{cases}

  \R^+ \to \R^+\\
  x \mapsto \frac {1} {x^2}
\end{cases}

Injektivität[Bearbeiten]

\frac {1} {x^2} ist in \R^+ injektiv, weil für alle a_1, a_2 \in A : a_1 \neq a_2 \Rightarrow f(a_1) \neq f(a_2) gilt. (es gibt alle keine Funktionswerte die doppelt vorkommen)

Anmerkung:

In \R gilt das aber natürlich nicht mehr: \frac {1} {(-1)^2} = \frac {1} {1^2} Was ist mit wurzel(-2)? Deshalb kann die funktion f(x)=wurzel(x) nicht bijektiv sein, oder?

Surjektivität[Bearbeiten]

\frac {1} {x^2} ist in \R^+ surjektiv, weil \forall b \in B \exist a \in A : b = f(a) gilt. (für jedes Element des Bildbereichs B lässt sich ein zugehöriges Element aus dem Definitionsbereich A finden)

Auch das gilt nicht für ganz \R

Bijektivität[Bearbeiten]

nachdem die Funktion sowohl injektiv als auch surjektiv ist, ist die Funktion automatisch auch bijektiv