TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 129

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Untersuchen Sie, ob es sich bei den folgenden Relationen um Funktionen, injektive Funktionen, surjektive Funktionen bzw. bijektive Funktionen handelt.

Hilfreiches[edit]

Funktion
Funktion[edit]

Eine Funktion oder Abbildung von nach ist eine Relation mit der Eigenschaft, dass zu jedem genau ein mit existiert. Man schreibt dafür . Der Graph einer Funktion ist die Menge .

Injektivität
Injektivität[Bearbeiten, Wikipedia, 1.65 Definition]

"Verschiedene Elemente der Definitionsmenge werden auf verschiedene Elemente der Zielmenge abgebildet": oder äquivalent:

Surjektivität
Surjektivität[Bearbeiten, Wikipedia, 1.65 Definition]

Jedes Element der Zielmenge tritt mindestens einmal als Funktionswert auf:

Bijektivität
Bijektivität[Bearbeiten, Wikipedia, 1.65 Definition]

Eine Funktion ist bijektiv, wenn Injektivität & Surjektivität vorliegt. Diese Eigenschaft impliziert die Existenz einer Umkehrfunktion .

Lösungsvorschlag[edit]

Grundlegende Überlegungen[edit]

Zuerst sollte man sich überlegen, mit welchen Funktionen man es hier überhaupt zu tun hat.

Zuerst :

Per Definition gilt:

Aber weil hier gilt folgt

Funktion[edit]

Damit die Relation eine Funktion ist muss jedes genau einem zugeordnet werden.

Nun zuerst bildet auf ab. Und dann wird durch auf abgebildet.

Wichtig ist es hier zu erkennen, dass

  • jedes abgebildet wird (es gibt keine Bereiche/ Werte in die man nicht in die beiden Funktionen einsetzen dürfte)
  • jedes auf nur genau ein abgebildet wird (es kann nicht passieren dass für ein mehrere möglich sind)

Daher sind die Vorrausetzungen für eine Funktion erfüllt und die Relation ist eine Funktion.

Nachdem (nach Definition) bijektiv gibt es eine Umkehrfunktion davon und man kann die Funktion noch etwas einfacher darstellen:

Injektivität[edit]

ist in injektiv, weil für alle gilt. (es gibt alle keine Funktionswerte die doppelt vorkommen)

Anmerkung:

In gilt das aber natürlich nicht mehr: Was ist mit wurzel(-2)? Deshalb kann die funktion f(x)=wurzel(x) nicht bijektiv sein, oder?

Surjektivität[edit]

ist in surjektiv, weil gilt. (für jedes Element des Bildbereichs B lässt sich ein zugehöriges Element aus dem Definitionsbereich A finden)

Auch das gilt nicht für ganz

Bijektivität[edit]

nachdem die Funktion sowohl injektiv als auch surjektiv ist, ist die Funktion automatisch auch bijektiv