TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 131

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Untersuchen Sie, ob es sich bei der folgenden Relation  R \subseteq A \times B um eine Funktion, injektive Funktion, surjektive Funktion bzw. bijektive Funktion handelt.

R = \{ (x^2,\frac{1} {x^2}) \  | \  x \in \mathbb{R}^{+} \}, A = B = \mathbb{R}^{+}

Lösungsvorschlag von Schakal[Bearbeiten]

Bsp 113 kurve1.gif Da die x^2 injektiv ist und \frac{1}{x^2} jedes Element aus \mathbb{R}_+ nur einmal zugeordnet wird, ist diese injektiv. Die Funktion ist surjektiv da im unendlichen auch 0 erreicht wird.

Hilfreiches[Bearbeiten]

Relation[Bearbeiten]

Eine Relation R zwischen zwei Mengen A und B ist eine Teilmenge des kartesischen Produkts A \times B. Ist \!\ A = B so spricht man von einer binären Relation. Anstelle von (a,b) \in R schreibt man auch \!\ aRb, anstelle von (a,b) \notin R auch aR\!\!\!/b.

Funktion[Bearbeiten]

Eine Funktion oder Abbildung f : A \to B von A nach B ist eine Relation  R_{f} \subseteq A \times B mit der Eigenschaft, dass zu jedem a \in A genau ein b \in B mit aR_{f}b existiert. Man schreibt dafür b = f(a). Der Graph einer Funktion f : A \to B ist die Menge \{(a, f(a))|a \in A\} \subseteq A \times B.

Injektivität[Bearbeiten, WP, 1.65 Definition]

"Verschiedene Elemente der Definitionsmenge werden auf verschiedene Elemente der Zielmenge abgebildet": a_{1}, a_{2}  \in  A, a_{1} \neq a_{2} \Rightarrow f(a_{1}) \neq f(a_{2}) oder äquivalent: a_{1}, a_{2}  \in  A, f(a_{1}) = f(a_{2}) \Rightarrow a_{1} = a_{2}

Surjektivität[Bearbeiten, WP, 1.65 Definition]

Jedes Element der Zielmenge tritt mindestens einmal als Funktionswert auf: \forall b\in B\ \exists a\in A: b=f(a)

Bijektivität[Bearbeiten, WP, 1.65 Definition]

Eine Funktion ist bijektiv, wenn Injektivität & Surjektivität vorliegt. Diese Eigenschaft impliziert die Existenz einer Umkehrfunktion  f^{-1}().

Links zu anderen Lösungen desselben Beispiels[Bearbeiten]

TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS10/Beispiel 123