TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 132

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Untersuchen Sie, ob es sich bei den folgenden Relationen  R \subseteq A \times B um Funktionen, injektive Funktionen, surjektive Funktionen bzw. bijektive Funktionen handelt.

R = \{ (\log_2 x, x) \  | \  x \in \mathbb{R}_{+} \}, A = B = \mathbb{R}

Hilfreiches[Bearbeiten]

Relation[Bearbeiten]

Eine Relation R zwischen zwei Mengen A und B ist eine Teilmenge des kartesischen Produkts A \times B. Ist \!\ A = B so spricht man von einer binären Relation. Anstelle von (a,b) \in R schreibt man auch \!\ aRb, anstelle von (a,b) \notin R auch aR\!\!\!/b.

Funktion[Bearbeiten]

Eine Funktion oder Abbildung f : A \to B von A nach B ist eine Relation  R_{f} \subseteq A \times B mit der Eigenschaft, dass zu jedem a \in A genau ein b \in B mit aR_{f}b existiert. Man schreibt dafür b = f(a). Der Graph einer Funktion f : A \to B ist die Menge \{(a, f(a))|a \in A\} \subseteq A \times B.

Injektivität[Bearbeiten, WP, 1.65 Definition]

"Verschiedene Elemente der Definitionsmenge werden auf verschiedene Elemente der Zielmenge abgebildet":

a_{1}, a_{2}  \in  A, a_{1} \neq a_{2} \Rightarrow f(a_{1}) \neq f(a_{2})

oder äquivalent:

a_{1}, a_{2}  \in  A, f(a_{1}) = f(a_{2}) \Rightarrow a_{1} = a_{2}

Surjektivität[Bearbeiten, WP, 1.65 Definition]

Jedes Element der Zielmenge tritt mindestens einmal als Funktionswert auf:

\forall b\in B\ \exists a\in A: b=f(a)

Bijektivität[Bearbeiten, WP, 1.65 Definition]

Eine Funktion ist bijektiv, wenn Injektivität & Surjektivität vorliegt.

Diese Eigenschaft impliziert die Existenz einer Umkehrfunktion  f^{-1}().


WARNUNG: Siehe http://informatik-forum.at/showthread.php?p=266291 --Mnemetz 22:35, 22. Nov 2005 (CET)


Eine andere Schreibweise für a R b ist definitionsgemäß f(a) = b. In diesem Fall bedeutet das:


\begin{array}{rcl}
f(\log_2 x) & = & x \\
\Rightarrow f(x) & = & 2^x
\end{array}

Bsp107 graph.jpg

Injektivität: Eine Abbildung f: A \rightarrow B heißt injektiv dann, wenn für alle b \in B höchstens ein a \in A existiert, sodaß f(a) = b.

Angenommen, f(x_1) = f(x_2) = x, wobei  x_1 \neq x_2, \  x_1, x_2 \in \mathbb{R}_{+}:


\begin{array}{rcll}
f(x_1) & = & f(x_2) \\
2^{x_1} & = & 2^{x_2} & \quad | \  \log_2 \\
\log_2 2^{x_1} & = & \log_2 2^{x_2} \\
x_1 & = & x_2
\end{array}

Es ergibt sich ein Widerspruch zur Annahme - daher muß f injektiv sein.

Surjektivität: Eine Abbildung heißt surjektiv, wenn für alle b \in B mindestens ein a \in A existiert, sodaß f(a) = b.

Diese Eigenschaft ist hier erfüllt, da der Ausdruck 2^x für alle x \in \mathbb{R}_{+} definiert ist. Die Abbildung ist daher surjektiv.

Ist eine Abbildung injektiv und surjektiv, so ist sie bijektiv.

Anmerkung: für alle a \in \mathbb{R}_{-} gibt es KEIN b \in B, daraus folgt, dass diese Relation keine Funktion sein kann!!!

Funktion[Bearbeiten]

Eine Funktion oder Abbildung f : A \to B von A nach B ist eine Relation  R_{f} \subseteq A \times B mit der Eigenschaft, dass zu jedem a \in A genau ein b \in B mit aR_{f}b existiert. Man schreibt dafür b = f(a). Der Graph einer Funktion f : A \to B ist die Menge \{(a, f(a))|a \in A\} \subseteq A \times B.