TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 132

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Untersuchen Sie, ob es sich bei den folgenden Relationen um Funktionen, injektive Funktionen, surjektive Funktionen bzw. bijektive Funktionen handelt.

Hilfreiches[edit]

Relation
Relation[edit]

Eine Relation R zwischen zwei Mengen A und B ist eine Teilmenge des kartesischen Produkts . Ist so spricht man von einer binären Relation. Anstelle von schreibt man auch , anstelle von auch .

Funktion
Funktion[edit]

Eine Funktion oder Abbildung von nach ist eine Relation mit der Eigenschaft, dass zu jedem genau ein mit existiert. Man schreibt dafür . Der Graph einer Funktion ist die Menge .

Injektivität
Injektivität[Bearbeiten, Wikipedia, 1.65 Definition]

"Verschiedene Elemente der Definitionsmenge werden auf verschiedene Elemente der Zielmenge abgebildet": oder äquivalent:

Surjektivität
Surjektivität[Bearbeiten, Wikipedia, 1.65 Definition]

Jedes Element der Zielmenge tritt mindestens einmal als Funktionswert auf:

Bijektivität
Bijektivität[Bearbeiten, Wikipedia, 1.65 Definition]

Eine Funktion ist bijektiv, wenn Injektivität & Surjektivität vorliegt. Diese Eigenschaft impliziert die Existenz einer Umkehrfunktion .


WARNUNG: Siehe http://informatik-forum.at/showthread.php?p=266291 --Mnemetz 22:35, 22. Nov 2005 (CET)


Eine andere Schreibweise für ist definitionsgemäß . In diesem Fall bedeutet das:

Bsp107 graph.jpg

Injektivität: Eine Abbildung heißt injektiv dann, wenn für alle höchstens ein existiert, sodaß .

Angenommen, , wobei :

Es ergibt sich ein Widerspruch zur Annahme - daher muß f injektiv sein.

Surjektivität: Eine Abbildung heißt surjektiv, wenn für alle mindestens ein existiert, sodaß .

Diese Eigenschaft ist hier erfüllt, da der Ausdruck für alle definiert ist. Die Abbildung ist daher surjektiv.

Ist eine Abbildung injektiv und surjektiv, so ist sie bijektiv.

Anmerkung: für alle gibt es KEIN , daraus folgt, dass diese Relation keine Funktion sein kann!!!

Anmerkung zur Anmerkung: Da und Logarithmen (egal welcher Basis) mit negative Werte annimmt, behaupte ich mal, dass diese Relation sehrwohl auch eine Funktion ist. und zwar eine injektive. Die Funktion zeigt (aufgrund der Definition und auch der Definition der Logarithmus Funktion) nur auf auf müsste aber auf ganz zeigen um bijektiv bzw surjektiv zu sein. Injektiv ist sie aber meines Erachtens.

Funktion
Funktion[edit]

Eine Funktion oder Abbildung von nach ist eine Relation mit der Eigenschaft, dass zu jedem genau ein mit existiert. Man schreibt dafür . Der Graph einer Funktion ist die Menge .