TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 138

Untersuchen Sie, ob es sich bei den folgenden Relationen $R\subseteq A\times B$ um Funktionen, injektive Funktionen, surjektive Funktionen bzw. bijektive Funktionen handelt.

$R=\{(log_{3}x,x^{2})|x\in \mathbb {R^{+}} \},A=\mathbb {R} ,B=\mathbb {R^{+}}$

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Hilfreiches

Funktion

Funktion

Eine Funktion oder Abbildung $f:A\to B$ von $A$ nach $B$ ist eine Relation $R_{f}\subseteq A\times B$ mit der Eigenschaft, dass zu jedem $a\in A$ genau ein $b\in B$ mit $aR_{f}b$ existiert. Man schreibt dafür $b=f(a)$. Der Graph einer Funktion $f:A\to B$ ist die Menge $\{(a,f(a))|a\in A\}\subseteq A\times B$.

Injektivität

Injektivität

"Verschiedene Elemente der Definitionsmenge werden auf verschiedene Elemente der Zielmenge abgebildet": $a_{1},a_{2}\in A,a_{1}\neq a_{2}\Rightarrow f(a_{1})\neq f(a_{2})$ oder äquivalent: $a_{1},a_{2}\in A,f(a_{1})=f(a_{2})\Rightarrow a_{1}=a_{2}$

Surjektivität

Surjektivität

Jedes Element der Zielmenge tritt mindestens einmal als Funktionswert auf: $\forall b\in B\ \exists a\in A:b=f(a)$

Bijektivität

Bijektivität

Eine Funktion ist bijektiv, wenn Injektivität & Surjektivität vorliegt. Diese Eigenschaft impliziert die Existenz einer Umkehrfunktion $f^{-1}()$.

Lösungsvorschlag

Funktion

Zu allererst müssen wir überprüfen, ob es sich überhaupt um eine gültige Funktionsdefinition handelt. Wenn nicht, wäre nämlich die Prüfung auf die restlichen Eigenschaften hinfällig.

Dazu prüfen wir zuerst, auf welchen Mengen wir operieren. $x\in \mathbb {R^{+}}$ heißt also, dass wir nur positive $x$ in $log_{3}x$ bzw. $x^{2}$ einsetzen. Nachdem $log(x)$ auch nur für $x\in \mathbb {R^{+}}$ definiert ist, also reelle Zahlen größer 0, ist die erste Voraussetzung erfüllt. Die Quadratfunktion ist weniger wählerisch, würde die Menge für $x$ also nicht auf den positiven Teil limitieren. Die Menge $A$ ist definiert als $\mathbb {R}$ und die Menge $B$ als $\mathbb {R^{+}}$. Das bedeutet, dass beim Einsetzen von $x$ für den gegebenen Wertebereich von $x$ (also $\mathbb {R^{+}}$) auch alle Elemente aus den Mengen $A$ bzw. $B$ herauskommen müssen! Ansonsten wäre unsere Relation keine gültige Funktion. Da die Logarithmusfunktion aber für Werte $<1$ negative Zahlen liefert, ist $A=\mathbb {R}$ erfüllt. $x^{2}$ liefert zwar ausschließlich positive Zahlen, aber mehr ist auch nicht gefordert ($B=\mathbb {R^{+}}$).

Somit können wir sagen, dass es sich um eine gültige Funktion handelt. Jetzt stellt sich noch die Frage, um welche Funktion es sich überhaupt handelt:

Gemäß Definition einer Funktion bzw. unseres konkreten Beispiels können wir einsetzen für $b$ und $a$:

$b=f(a)\Rightarrow x^{2}=f(log_{3}x)$

Nun müssen wir die Gleichung noch auf die Form $f(x)=\ldots$ bekommen. Dazu müssen wir uns Überlegen, was die Umkehrfunktion von $log_{3}x$ ist. Wie wir wissen, ist das die Exponentialfunktion, also $3^{x}$:

$3^{x^{2}}=f(3^{log_{3}x})\Rightarrow f(x)=3^{x^{2}}$

Alternativ könnten wir schreiben:

$f:{\begin{cases}\mathbb {R} \to \mathbb {R^{+}} \\x\mapsto 3^{x^{2}}\end{cases}}$

Injektivität

Falls $x_{1}$ und $x_{2}$ zum gleichen $f(x_{1})=f(x_{2})$ führen, müssen diese ebenfalls identisch sein. Dann ist die Funktion injektiv.

$3^{x_{1}^{2}}=3^{x_{2}^{2}}$

$x_{1}=x_{2}$

Da für $x$ nur $\mathbb {R^{+}}$ in Frage kommt, können wir beim Ziehen der Wurzel das negative Ergebnis vernachlässigen. Also müssen die zwei Funktionswerte identisch und somit ist die Funktion injektiv.

Surjektivität

Hier vertauschen wir $x$ und $y$ und formen entsprechend um.

$x=3^{y^{2}}$

$log_{3}x=y^{2}$

${\sqrt {log_{3}x}}=y$

Da wir für $x$ nur einen positiven Wertebereich gegeben haben, kann der Logarithmus nie negativ sein und somit können wir gefahrlos die Quadratwurzel ziehen. Für Fehler beim Parsen (⧼math_empty_tex⧽): {\displaystyle } haben wir ebenfalls einen positiven Wertebereich, also brauchen wir nur das positive Ergebnis der Wurzel berücksichtigen.

Unsere inverse Funktion ist somit $f^{-1}(x)={\sqrt {log_{3}x}}$ und unsere Funktion ist demnach surjektiv.

Achtung! $log_{3}x$ kann negativ sein, zum Beispiel bei $log_{3}1/3=-1$!

11.11.2022: Da für x-Werte zwischen 0 und 1 ein negatives Ergebnis für den Logarithmus rauskommt, erhält man für x (0<x<1) eine komplexe Lösung nach dem Ziehen der Wurzel. Somit ist die Funktion für x<1 nicht in den reellen Zahlen definiert. Daher ist die Funktion nicht surjektiv (die Wertemenge zwischen 0 und 1 wird nicht getroffen).

Bijektivität

Da unsere Funktion injektiv und surjektiv ist, ist sie somit auch bijektiv.

11.11.2022: Sie ist nicht bijektiv => nicht surjektiv.

-- Superwayne 17:40, 26. Nov. 2014 (CET)