TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 137

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Seien f: A \rightarrow B und g: B \rightarrow C surjektive Abbildungen. Man zeige, dass dann auch h = g \circ f: A \rightarrow C surjektiv ist. ((g \circ f)(x) = g(f(x)))

Hilfreiches[Bearbeiten]

Surjektivität
Surjektivität[Bearbeiten, WP, 1.65 Definition]

Jedes Element der Zielmenge tritt mindestens einmal als Funktionswert auf: \forall b\in B\ \exists a\in A: b=f(a)

Verkettung

Kategorie:Verkettung


Anmerkung:  \circ steht für eine Verkettung. --Mnemetz 16:55, 21. Nov 2005 (CET)

Eine Abbildung f: A \rightarrow B ist surjektiv, wenn für alle b \in B mindestens ein a \in A existiert, sodaß f(a) = b.

Wir müssen daher nun zeigen, dass bei der Hintereinanderausführung g \circ f: A \rightarrow Cfür alle c \in C mindestens ein a \in A existiert, sodass f(a) = c:


(g \circ f)(a) = g(f(a)) = c \qquad \exists \  a \in A \quad \forall c \in C

Da die Abbildung g surjektiv ist, gibt es ein b \in B für alle c \in C, sodass:


g(\underbrace{f(a)}_{= b}) = g(b) = c

Da auch f surjektiv ist, gibt es auch tatsächlich ein a \in A für alle b \in B mit:


f(a) = b

Daraus folgt, dass es ein a \in A für alle c \in C gibt, für die

g(f(a)) = c

gilt. Das bedeutet, dass die Hintereinanderausführung g \circ f der surjektiven Abbildungen g und f selbst auch surjektiv sein muss.