TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 138

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Seien und Abbildungen.

Zeigen Sie, daß aus der Surjektivität von

die Surjektivität von g und aus der Injektivität von die Injektivität von f folgt.

Hilfreiches[edit]

Injektivität
Injektivität[Bearbeiten, Wikipedia, 1.65 Definition]

"Verschiedene Elemente der Definitionsmenge werden auf verschiedene Elemente der Zielmenge abgebildet": oder äquivalent:

Surjektivität
Surjektivität[Bearbeiten, Wikipedia, 1.65 Definition]

Jedes Element der Zielmenge tritt mindestens einmal als Funktionswert auf:

Lösungsvorschlag[edit]

Surjektivität[edit]

Aus der Surjektivität von folgt, dass es für jedes ein geben muss, für dass gilt

Setzen ergibt das:

Da gilt, ist somit bewiesen, dass es zu jedem ein mit gibt. Folglich ist g surjektiv.

Injektivität[edit]

Es ist und .

Aus der Injektivität von folgt

Wir müssen zeigen, dass aus folgt: .

.

Das beweist, dass f injektiv ist.