TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 138

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Seien f \colon A \to B und g \colon B \to C Abbildungen.

Zeigen Sie, daß aus der Surjektivität von

g \circ f die Surjektivität von g und aus der Injektivität von g \circ f die Injektivität von f folgt.

Hilfreiches[Bearbeiten]

Injektivität
Injektivität[Bearbeiten, WP, 1.65 Definition]

"Verschiedene Elemente der Definitionsmenge werden auf verschiedene Elemente der Zielmenge abgebildet": a_{1}, a_{2}  \in  A, a_{1} \neq a_{2} \Rightarrow f(a_{1}) \neq f(a_{2}) oder äquivalent: a_{1}, a_{2}  \in  A, f(a_{1}) = f(a_{2}) \Rightarrow a_{1} = a_{2}

Surjektivität
Surjektivität[Bearbeiten, WP, 1.65 Definition]

Jedes Element der Zielmenge tritt mindestens einmal als Funktionswert auf: \forall b\in B\ \exists a\in A: b=f(a)

Lösungsvorschlag[Bearbeiten]

Surjektivität[Bearbeiten]

Aus der Surjektivität von g \circ f folgt, dass es für jedes c \in C ein a \in A geben muss, für dass gilt

(g \circ f)(a) = g(f(a)) = c

Setzen f(a) = b ergibt das:

g(b) = c

Da b \in B gilt, ist somit bewiesen, dass es zu jedem c \in C ein b \in B mit g(b) = c gibt. Folglich ist g surjektiv.

Injektivität[Bearbeiten]

Es ist (g \circ f)(a) = g(f(a)) und (g \circ f)(b) = g(f(b)).

Aus der Injektivität von g \circ f folgt

g(f(a)) = g(f(b)) \Rightarrow a= b

Wir müssen zeigen, dass aus f(a)=f(b) folgt: a=b.

f(a)=f(b) \Rightarrow g(f(a)) = g(f(b)) \Rightarrow a= b.

Das beweist, dass f injektiv ist.