TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 140
Zu den nachstehenden Abbildungen
bzw. auf der Menge {0,1,...,9} bestimme man jeweils den zugehörigen Graphen und untersuche die angegebene Zuordnung auf Injektivität, Surjektivität und Bijektivität:(a)
mod 10(b)
mod 10
Achtung: Dieses Beispiel war im WS07 noch Beispiel 117, ab WS08 ist es Beispiel 119.
Hilfreiches:[edit]
"Verschiedene Elemente der Definitionsmenge werden auf verschiedene Elemente der Zielmenge abgebildet":
oder äquivalent:Jedes Element der Zielmenge tritt mindestens einmal als Funktionswert auf:
Eine Funktion ist bijektiv, wenn Injektivität & Surjektivität vorliegt. Diese Eigenschaft impliziert die Existenz einer Umkehrfunktion .
Lösung[edit]
( ) | ||
---|---|---|
0 | 0 | 0 |
1 | 1 | 1 |
2 | 4 | 4 |
3 | 9 | 9 |
4 | 16 | 6 |
5 | 25 | 5 |
6 | 36 | 6 |
7 | 49 | 9 |
8 | 64 | 4 |
9 | 81 | 1 |
Man sieht, daß in der letzten Spalte Werte mehrfach vorkommen (d.h.
ist nicht injektiv).Man sieht auch, daß in der letzten Spalte manche Werte aus der Grundmenge {0,1,...,9} überhaupt nicht vorkommen (d.h.
ist nicht surjektiv).Und bijektiv... darüber brauchen wir schon garnicht diskutieren :).
( ) | ||
---|---|---|
0 | 0 | 0 |
1 | 1 | 1 |
2 | 8 | 8 |
3 | 27 | 7 |
4 | 64 | 4 |
5 | 125 | 5 |
6 | 216 | 6 |
7 | 343 | 3 |
8 | 512 | 2 |
9 | 729 | 9 |
Man sieht, daß kein Wert in der letzten Spalte mehrfach vorkommt (d.h.
ist injektiv).Man sieht auch, daß in der letzten Spalte alle Werte aus der Grundmenge {0,1,...,9} vorkommen (d.h.
ist surjektiv).Injektiv + surjektiv: Daher ist
auch bijektiv.Graph[edit]
f(x)y ^ 9 | x x 8 | 7 | 6 | x x 5 | x 4 | x x 3 | 2 | 1 | x x ---------------------> x 1 2 3 4 5 6 7 8 9
g(x)y ^ 9 | x 8 | x 7 | x 6 | x 5 | x 4 | x 3 | x 2 | x 1 | x ---------------------> x 1 2 3 4 5 6 7 8 9
siehe auch: Beispiel 125