TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 140

Zu den nachstehenden Abbildungen $f$ bzw. $g$ auf der Menge {0,1,...,9} bestimme man jeweils den zugehörigen Graphen und untersuche die angegebene Zuordnung auf Injektivität, Surjektivität und Bijektivität:

(a) $f(x) = x^2$ mod 10

(b) $g(x) = x^3$ mod 10

Achtung: Dieses Beispiel war im WS07 noch Beispiel 117, ab WS08 ist es Beispiel 119.

Hilfreiches:

Injektivität

"Verschiedene Elemente der Definitionsmenge werden auf verschiedene Elemente der Zielmenge abgebildet":

$a_{1}, a_{2} \in A, a_{1} \neq a_{2} \Rightarrow f(a_{1}) \neq f(a_{2})$

oder äquivalent:

$a_{1}, a_{2} \in A, f(a_{1}) = f(a_{2}) \Rightarrow a_{1} = a_{2}$

Surjektivität

Jedes Element der Zielmenge tritt mindestens einmal als Funktionswert auf:

$\forall b\in B\ \exists a\in A: b=f(a)$

Bijektivität

Eine Funktion ist bijektiv, wenn Injektivität & Surjektivität vorliegt.

Diese Eigenschaft impliziert die Existenz einer Umkehrfunktion $f^{-1}()$.

Lösung

$x$	$x^2$	$x^2 \mod 10$ ($=f(x)$)
0	0	0
1	1	1
2	4	4
3	9	9
4	16	6
5	25	5
6	36	6
7	49	9
8	64	4
9	81	1

Man sieht, daß in der letzten Spalte Werte mehrfach vorkommen (d.h. $f()$ ist nicht injektiv).

Man sieht auch, daß in der letzten Spalte manche Werte aus der Grundmenge {0,1,...,9} überhaupt nicht vorkommen (d.h. $f()$ ist nicht surjektiv).

Und bijektiv... darüber brauchen wir schon garnicht diskutieren :).

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$x$	$x^3$	$x^3 \mod 10$ ($=g(x)$)
0	0	0
1	1	1
2	8	8
3	27	7
4	64	4
5	125	5
6	216	6
7	343	3
8	512	2
9	729	9

Man sieht, daß kein Wert in der letzten Spalte mehrfach vorkommt (d.h. $g()$ ist injektiv).

Man sieht auch, daß in der letzten Spalte alle Werte aus der Grundmenge {0,1,...,9} vorkommen (d.h. $g$ ist surjektiv).

Injektiv + surjektiv: Daher ist $g$ auch bijektiv.

Graph

$x^2$

f(x)y 
  ^
9 |     x       x
8 |
7 |
6 |       x   x
5 |         x
4 |   x           x
3 | 
2 |
1 | x               x
  ---------------------> x
    1 2 3 4 5 6 7 8 9

$x^3$

g(x)y 
  ^
9 |                 x     
8 |  x             
7 |     x          
6 |           x    
5 |         x      
4 |       x        
3 |             x  
2 |               x
1 | x 
  ---------------------> x
    1 2 3 4 5 6 7 8 9

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siehe auch: Beispiel 125