TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 170

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Wie viele natürliche Zahlen n < 100.000 enthalten in ihrer Dezimalentwicklung genau dreimal die Ziffer 3?

Lösungsvorschlag[Bearbeiten]

1. Es gibt genau 100.000 Möglichkeiten für 5- stellige Dezimalzahlen von 00000 bis 99999

2. Es gibt folgende Kombinationen von 3*3 Ziffern auf 5 Positionen:

   \frac {n!} {k!*(n-k)!} = \frac {5!} {3!*(5-3)!}  = \frac {120}{12} = 10  Kombinationen.

3. Jede Kombination wird an 2 Stellen mit einer Ziffer aus 0-2 und 4-9, also 9 Möglichkeiten aufgefüllt.

Das ergibt 9*9 oder 81 Möglichkeiten.

4. Die Anzahl der Ziffern ist Anzahl der Kombinationen 10 *81 = 810

Hapi

Alternative Lösung[Bearbeiten]

Das Problem kann man in zwei Teile zerlegen:

  1. Permutation mit Wiederholung der Multimenge \{ X, X, 3, 3, 3 \} (zwei beliebigen Ziffern X \in \{ 0, 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9 \}): \frac{(n_3 + n_X)!}{n_3! \cdot n_X!} = \frac{(3 + 2)!}{3! \cdot 2!} = \frac{5!}{3! \cdot 2!} = 10
  2. Variation mit Wiederholung von zwei Ziffern XX: 9^2 = 81

Gemäß der Produktregel werden diese zwei Ergebnisse nun multipliziert: 81 \cdot 10 = 810.

-- Superwayne 22:48, 26. Nov. 2014 (CET)