TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 176

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Man zeige


\sum_{k=0}^{n}{(-1)^k}\left(\begin{array}{cc}x\\k\end{array}\right)=
(-1)^{n}\left(\begin{array}{cc}x-1\\n\end{array}\right)

für alle x\geq 1 und x\in\mathbb{N} mit Hilfe der Identität (1+z)^x\cdot\frac{1}{1+z}=(1+z)^{x-1}.

Anm.: Fehler in der Angabe, es müßte heißen: "...und n\in\mathbb{N}..."

Lösungsvorschlag (1)[Bearbeiten]

Ein motivierter Kollege hat dieses Beispiel als Induktion über n vorgerechnet, ohne auf die o.g. Identität zurückgreifen zu müssen (Induktion über x wäre angeblich auch möglich! Mathematiker vor!).

Lt. UE-Leiter ist das akzeptabel, auch weil das zugrundeliegenden Zeugs heuer in der VO nicht erschöpfend behandelt wurde, und daher keine UE-Gruppe das Beispiel angabengemäß lösen konnte ;-)

Weitere Lösungsvorschläge daher: sehr erwünscht!!


\sum_{k=0}^{n}{(-1)^k}\left(\begin{array}{cc}x\\k\end{array}\right)=
(-1)^{n}\left(\begin{array}{cc}x-1\\n\end{array}\right),
\quad x\geq 1, \quad n\in\mathbb{N}

Induktion über n:

n=0:\quad


\underset{1}{\underbrace{(-1)^0}}\underset{1}{\underbrace{\binom{x}{0}}}=
\underset{1}{\underbrace{(-1)^0}}\underset{1}{\underbrace{\binom{x-1}{0}}}
\quad\surd
\quad\quad(\forall m:\quad m^0:=1,\quad\binom{m}{0}:=1)

n\rightarrow n+1:


(-1)^k\binom{x}{n}+(-1)^{n+1}\binom{x}{n+1}
\overset{?}{=}
(-1)^{n+1}\binom{x-1}{n+1}, \quad
Ansatz soweit klar? :) Jetzt wird's nämlich ungemütlich..:

(-1)^n\frac{(n-1)!}{n!(x-1-n)!}+
(-1)^{n+1}\frac{x!}{(n+1)!(x-n-1)!}
\overset{?}{=}
(-1)^{n+1}\frac{(x-1)!}{(n+1)!\underbrace{(x-1-n-1)!}}

Nebenrechnung: (x-1-n-1)!=\frac{(x-1-n)!}{(x-1-n)}, weil ja
m!=(m-1)!\cdot m\Rightarrow
\Rightarrow(x-n-2)!=\frac{(x-n-1)!}{(x-n-1)}

(-1)^n\frac{(n-1)!}{n!(x-1-n)!}+
(-1)^{n+1}\frac{x!}{(n+1)!(x-n-1)!}
\overset{?}{=}
(-1)^{n+1}\frac{(x-1)!(x-n-1)}{(n+1)!(x-n-1)}

Gleicher Nenner, auf die andere Seite des Gleichheizzeichens verschieben:


(-1)^n(x-1)!+(-1)^{n+1}\frac{x!}{n+1}-(-1)^{n+1}\frac{(x+1)!(x-1-n)}{n+1}
\overset{?}{=}0

(-1)^n(x-1)!+(-1)^{n+1}\left(\frac{x!-(x-1)!(x-n-1)}{n+1}\right)
\overset{?}{=}0


\underset{\pm 1}{\underbrace{(-1)^n}}+
\underset{\mp 1}{\underbrace{(-1)^{n+1}}}
\underset{1}{\underbrace{\left(\frac{x-(x-n-1)}{n+1}\right)}}
\overset{?}{=}0


\pm1+\mp1=0
QED.

Na, wenn das kein Beispiel für mathematische Hirnwixerei ist... T'schuldigung :)

Ich ersuche darum, Tipp- und andere Fehler zu beseitigen.


g, Baccus 22:41, 1. Dez 2006 (CET)