TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 178

Berechnen Sie unter Benützung des Binomischen Lehrsatzes (und ohne Benützung der Differentialrechnung):

$\sum_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}k5^k$

Hilfreiches

Binomischer Lehrsatz

Für $n \ge 0$ und beliebige $x, y \in \mathbb{C}$:

$\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}x^{n-k} y^{k} = (x+y)^n$

Aufgabe

Binomischen Lehrsatz so umformen, dass er auf die angegebene Formel anwendbar ist.

Ähnliches Beispiel

Hier die Lösung eines ähnlichen Beispiels ohne Benützung der Differentialrechnung.

TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 150

Lösung mittels Differentialrechnung

Achtung

Laut Angabe soll das Beispiel ohne Benützung der Differentialrechnung gelöst werden. Daher dürfte diese Lösung in der Übung nicht aktzeptiert werden.

$a=1, b=x$ einsetzen, damit $a^{n-k}$ wegfällt.

$(1+x)^n=\sum_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} x^k$

Nun bilden wir die 1. Ableitung, damit k heruntergeholt wird.

$n(1+x)^{n-1}=\sum_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} kx^{k-1}$

Die Gleichung beidseitig mit x multiplizieren, damit wieder $x^k$ steht.

$nx(1+x)^{n-1}=\sum_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} kx^{k}$

Jetzt wird die Angabe eingesetzt.

$n5(1+5)^{n-1}=\sum_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} k5^{k}$

Als Ergebnis bekommen wir heraus:

$n5(1+5)^{n-1}=5n6^{n-1}$