TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 178

Aus VoWi
Wechseln zu: Navigation, Suche

Berechnen Sie unter Benützung des Binomischen Lehrsatzes (und ohne Benützung der Differentialrechnung):

\sum_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}k5^k

Hilfreiches[Bearbeiten]

Binomischer Lehrsatz[Bearbeiten, WP, 2.05 Satz]

Für n \ge 0 und beliebige x, y \in \mathbb{C}:

\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}x^{n-k} y^{k} = (x+y)^n

Aufgabe[Bearbeiten]

Binomischen Lehrsatz so umformen, dass er auf die angegebene Formel anwendbar ist.

Ähnliches Beispiel[Bearbeiten]

Hier die Lösung eines ähnlichen Beispiels ohne Benützung der Differentialrechnung.

TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 150

Lösung mittels Differentialrechnung[Bearbeiten]

Achtung[Bearbeiten]

Laut Angabe soll das Beispiel ohne Benützung der Differentialrechnung gelöst werden. Daher dürfte diese Lösung in der Übung nicht aktzeptiert werden.

a=1, b=x einsetzen, damit a^{n-k} wegfällt.

(1+x)^n=\sum_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} x^k

Nun bilden wir die 1. Ableitung, damit k heruntergeholt wird.

n(1+x)^{n-1}=\sum_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} kx^{k-1}

Die Gleichung beidseitig mit x multiplizieren, damit wieder x^k steht.

nx(1+x)^{n-1}=\sum_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} kx^{k}

Jetzt wird die Angabe eingesetzt.

n5(1+5)^{n-1}=\sum_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} k5^{k}

Als Ergebnis bekommen wir heraus:

n5(1+5)^{n-1}=5n6^{n-1}