TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 18

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Man untersuche mittels vollständiger Induktion, für welche die angegebene Ungleichung gilt:

Lösungsvorschlag[edit]

Als ersten Schritt untersuchen wir die Gleichung durch Einsetzen für n:

 n = 1	   (8)     richtig
 n = 2	  (64)    falsch
 n = 3	 (512)   richtig
 n = 4	 (4096)  richtig

Dies ergibt die Vermutung, daß die Gleichung für alle gilt, da stärker wächst als n³.

Der Induktionsanfang für n = 3 ist bereits bewiesen.

Die Induktionsvoraussetzung, daß die Gleichung für alle gilt.

Die Induktionsbehauptung:

Induktionsschluß: ACHTUNG: hier sind offensichtlich Fehler! siehe Diskussionsseite

   | Term * 8
       	      |  / 9
     
   	 | -n³
  	       | Ersetzen n durch höchste Potenz
  	  

und 6n² sind bei n >= 3immer kleiner als 7n³

Hapi

Lösungsvorschlag von Tonico[edit]

IV: P(n) sei die Aussage
8n ≥ 9n3 - 3, für alle n ≥ 3.

IA: Die Aussage P(3), 83 = 512 ≥ 9·33 - 3 = 240, ist wahr.

IS: Aus P(n) folgt P(n + 1) ist gleichbedeutend mit
8·8n = 8n+1 ≥ 8·(9n3 - 3) ≥ 9(n + 1)3 - 3.

Daraus folgt, dass für alle n ≥ 3 P(n) wahr ist.

Lösung in der Übung akzeptiert[edit]

Ungleichung:

Erste analyse: Mittels einsetzen erhält man: Die Ungleichung gilt für n = 1, und alle n größer oder gleich 3.

Vereinfachung: Auf der linken Seite 3 addieren. Man vergrößert die Zahl, von der man annimmt, dass sie kleiner ist. Die Ungleichung gilt immernoch für die angenommen .

Induktion: Es muss sowohl u(n), als auch u(n+1) gelten. Um eine einfache Endungleichung zu erhalten dividiert man und erhält:

  | Man kürzt links durch , rechts durch 
  | Man zieht die 3. Wurzel
  | Und den Kehrwert:
 

Die Endungleichung ist natürlich für alle n größer oder gleich 3 gültig. Es gilt:

Wenn die durch x beschriebene Menge die angenommene Menge x größer-gleich 3 ist:

Wieviel das mit Induktion zu tun hat, und ob das auch wirklich anwendbar ist, weiß ich nicht.

Link zu früheren Lösungen[edit]

TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 44