TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 189

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In einer Menge von n Personen können 13 Personen Deutsch, 8 Englisch, 7 Französisch, 5 Deutsch und Englisch, 6 Deutsch und Französisch, 3 Englisch und Französisch, 2 alle drei Sprachen und niemand keine der drei Sprachen. Wie groß ist n?

Siebformel (Ergänzung von mnemetz)[Bearbeiten]

Die Siebformel von Poincaré und Sylvester, auch Formel des Ein- und Ausschließens oder Inklusions-Exklusionsprinzip genannt, dient dazu, die Anzahl der Elemente (Mächtigkeit) einer endlichen Vereinigung nicht-disjunkter Mengen A_1,\dots,A_n zu berechnen. Sie wird in der Kombinatorik und in der Wahrscheinlichkeitsrechnung verwendet.

Variablen[Bearbeiten]

P ... Menge aller Personen ( P = D \cup E \cup F )

n ... Anzahl der Personen, entspricht der Mächtigkeit von P ( n = |P| )

D ... Menge aller Personen die Deutsch sprechen

E ... Menge aller Personen die Englisch sprechen

F ... Menge aller Personen die Französisch sprechen

Lösungsvorschlag von Soymilk-Drinker[Bearbeiten]

Gesucht ist n also die Mächtigkeit von P. P ist ja wiederum die Vereinigung von D, E und F. Um also auf die Mächtigkeit von P zu kommen verwendet man die Siebformel

 n = |P| = |D| + |E| + |F| - |D \cap E| - |D \cap F| - |E \cap F| + |D \cap E \cap F|

Alle einzelnen Komponenten sind durch die Angabe gegeben

 |D| = 13 (Anzahl der Personen die Deutsch sprechen)

 |E| = 8

 |F| = 7

 |D \cap E| = 5 (Anzahl der Personen die Deutsch und Englisch sprechen)

 |D \cap F| = 6

 |E \cap F| = 3

 |D \cap E \cap F| = 2 (Anzahl der Personen die alle drei Sprachen sprechen)

Man muss also nur noch in die vorherige Formel einsetzen und erhält die Gesamtanzahl der Personen:

 n = |P| = 13 + 8 + 7 - 5 - 6 - 3 + 2 = 16

Die gesamte Menge umfasst also 16 Personen

Nachtrag von aläx:

Wäre es nicht einfacher wenn man die Menge aller Personen die Deutsch sprechen und die Menge aller Personen die nicht Deutsch sprechen addiert?

Also  |D| + |E \cap F| = 13 + 3 = 16

Nachtrag zum Nachtrag von aläx: Diese Überlegung ist falsch, man betrachte dazu nur kurz das VENN-Diagramm und schaue sich "die Menge aller Personen die nicht Deutsch sprechen" an, das ist (im allgemeinen) mehr als  |E \cap F| und stimmt hier nur zufällig. (Einfach die Rechnung mit anderen Zahlen durchspielen - es stimmt dann nicht mehr.)

Graphische Veranschaulichung (Ergänzung von mnemetz)[Bearbeiten]

Mit VENN-Diagrammen veranschaulichen wir den Zusammenhang zwischen den Mengen:

Bsp151 1.png

Anm. v. PnotNP: Deutsch geschnitten Englisch muss 5 sein, nicht 2.


Siehe auch: Beispiel_160