TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 193

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Wie viele natürliche Zahlen n mit gibt es, die durch 3 und 5, aber weder durch 9 und 11 teilbar sind.

Lösungsvorschlag von der Lerngruppe vom 28.12.2005[edit]

  • A: Menge aller Zahlen, die durch 3 und 5 teilbar sind (entspr. durch 15 teilbar)
  • B: Menge aller Zahlen, die durch 9 teilbar sind
  • C: Menge aller Zahlen, die durch 11 teilbar sind

Wir wollen alle Elemente von A aber ohne B und C haben =>

40 Zahlen zwischen 1 und 1000 sind durch 3 und 5, aber nicht durch 9 und 11 teilbar.

Kontrolle mit einfachem Java-Programm von fieselschweif[edit]

Beispiele wie diese sind bestens dafür geeignet um seine Java-Kenntnisse mit Mathe zu kombinieren, um beim Ergebnis auf Nummer sicher zu gehen ;-)

  public class B163 {                                                         
      public static void main(String[] args) {
          int counter=0;
          for (int i=1; i<=1000; i++)
              if (i%3 == 0 && i%5 == 0 && i%9 != 0 && i%11 != 0)
                  counter++;
          System.out.println(counter + " Zahlen. ");
      }
  }

Bringt den Output:

  40 Zahlen.

Also obige Lösung stimmt, nun gilt es nur noch zu verstehen warum *g*

Anmerkungen[edit]

Die Zahlen die durch teilbar sind: Jede Zahl für alle . Das ist eine ganze Zahl so daß sein muss, aber ist. Das ist auch die Anzahl der Zahlen die durch teilbar sind. Das geht mit Volksschul-Division (Nicht mit Bruchstrichen):

Gefragt ist aber eigentlich die Anzahl der Zahlen, die durch und teilbar sind. Das entspricht aber der Anzahl der Zahlen, die durch teilbar sind. Warum das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) sollte jeder verstehen. Übrigens kann man das ausrechnen: . Das Prinzip ist aber dann das gleiche.

Ansonsten bleibt nur mehr das Inklusions-Exklusions-Prinzip zu verstehen. Das haben wir im Buch und in der Vorlesung auch mit 3 Mengen gemacht, und ist eigentlich auch nicht so verblüffend.