TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 196

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Wieviele natürliche Zahlen n mit 1 \leq n \leq 1000 gibt es, die durch 3, 5 oder 13 teilbar sind? Wie viele sind weder durch 3, noch durch 5 noch durch 13 teilbar?

Lösungsvorschlag von mnemetz[Bearbeiten]

  • Menge aller Zahlen, die durch 3 teilbar sind: A_3
  • Menge aller Zahlen, die durch 5 teilbar sind: A_5
  • Menge aller Zahlen, die durch 13 teilbar sind: A_{13}
  • Menge aller Zahlen, die durch 3 und 5 teilbar sind: A_3 \cap A_5
  • Menge aller Zahlen, die durch 3 und 13 teilbar sind: A_3 \cap A_{13}
  • Menge aller Zahlen, die durch 5 und 13 teilbar sind: A_5 \cap A_{13}
  • Menge aller Zahlen, die durch 3 und 5 und 13 teilbar sind: A_3 \cap A_5 \cap A_{13}

Berechnung aller Zahlen zwischen 1 \leq n \leq 1000, die durch 3, 5 oder 13 teilbar sind:

|A_3| + |A_5| + |A_{13}| - |A_3 \cap A_5| - |A_3 \cap A_{13}| - |A_5 \cap A_{13}| + |A_3 \cap A_5 \cap A_{13}| =

= \frac{1000}{3} + \frac{1000}{5} + \frac{1000}{13} - \frac{1000}{3*5} - \frac{1000}{3*13} - \frac{1000}{5*13} +  \frac{1000}{3*5*13} =

= 333 + 200 + 76 - 66 - 25 - 15 + 5 = 508

Berechnung aller Zahlen zwischen 1 \leq n \leq 1000, die weder durch 3, 5 oder 13 teilbar sind:

1000-508=492