TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 197

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Wieviele natürliche Zahlen n mit gibt es, die weder durch 2 teilbar, noch Quadratzahlen, noch dritte, noch vierte Potenz einer natürlichen Zahl sind?

Lösungsvorschlag von mnemetz[edit]

  • a ist gerade

D fällt weg, denn irgendwas hoch 4 ist ja auch irgendwas hoch 2:

Berechnung der Anzahl der Elemente in Menge A:

die Hälfte aller Zahlen von 1 bis 10^6 ist gerade:

Berechnung der Anzahl der Elemente in Menge B:

Berechnung der Anzahl der Elemente in Menge C:

Berechnung der Anzahl der Elemente in Menge :

Jede gerade Zahl hoch x ist gerade, jede ungerade Zahl hoch x ist ungerade die Hälfte aller Zahlen aus B.

Berechnung der Anzahl der Elemente in Menge :

Welche sind ein ? Jedes ist ein oder ein : Ermittlung aus dem kgV der Hochzahlen!

Berechnung der Anzahl der Elemente in Menge :

(Wie bei )

Berechnung der Anzahl der Elemente in Menge : Ist ja wie und ist ja wie für .

Die Anzahl der Elemente im "Universum" ist:

Es ist nun die Anzahl der Elemente die in keiner der Mengen A,B,C liegen gesucht, also .

Diese lässt sich nun mittels des Inklusions-Exklusions-Prinzip berechnen:

Links zu ähnlichen Aufgaben[edit]

TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 161