TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 197
Wieviele natürliche Zahlen n mit
gibt es, die weder durch 2 teilbar, noch Quadratzahlen, noch dritte, noch vierte Potenz einer natürlichen Zahl sind?
Lösungsvorschlag von mnemetz[edit]
- a ist gerade
D fällt weg, denn irgendwas hoch 4 ist ja auch irgendwas hoch 2:
Berechnung der Anzahl der Elemente in Menge A:
die Hälfte aller Zahlen von 1 bis 10^6 ist gerade:
Berechnung der Anzahl der Elemente in Menge B:
Berechnung der Anzahl der Elemente in Menge C:
Berechnung der Anzahl der Elemente in Menge
:Jede gerade Zahl hoch x ist gerade, jede ungerade Zahl hoch x ist ungerade
die Hälfte aller Zahlen aus B.
Berechnung der Anzahl der Elemente in Menge
:Welche
sind ein ? Jedes ist ein oder ein : Ermittlung aus dem kgV der Hochzahlen!
Berechnung der Anzahl der Elemente in Menge
:(Wie bei
)
Berechnung der Anzahl der Elemente in Menge
: Ist ja wie und ist ja wie für .
Die Anzahl der Elemente im "Universum" ist:
Es ist nun die Anzahl der Elemente die in keiner der Mengen A,B,C liegen gesucht, also
.Diese lässt sich nun mittels des Inklusions-Exklusions-Prinzip berechnen: