TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 197

Wieviele natürliche Zahlen n mit $1\leq n\leq 10^{6}$ gibt es, die weder durch 2 teilbar, noch Quadratzahlen, noch dritte, noch vierte Potenz einer natürlichen Zahl sind?

Lösungsvorschlag von mnemetz

$n=10^{6}$

• $a\in A:$ a ist gerade
• $b\in B:b=x^{2}$
• $c\in C:c=x^{3}$
• $d\in D:d=x^{4}$

D fällt weg, denn irgendwas hoch 4 ist ja auch irgendwas hoch 2:

• $x*x*x*x=x^{4}$
• $y=x*x=x^{2}$
• $\Rightarrow y^{2}=x*x*x*x=x^{4}$

Berechnung der Anzahl der Elemente in Menge A:

die Hälfte aller Zahlen von 1 bis 10^6 ist gerade:

$|A|=10^{6}/2=500000$

Berechnung der Anzahl der Elemente in Menge B:

$|B|={\sqrt[{2}]{10^{6}}}=10^{3}$

Berechnung der Anzahl der Elemente in Menge C:

$|C|={\sqrt[{3}]{10^{6}}}=10^{2}$

Berechnung der Anzahl der Elemente in Menge $A\cap B$:

Jede gerade Zahl hoch x ist gerade, jede ungerade Zahl hoch x ist ungerade $\Rightarrow$ die Hälfte aller Zahlen aus B.

$|A\cap B|={\frac {|B|}{2}}={\frac {10^{3}}{2}}=500$

Berechnung der Anzahl der Elemente in Menge $B\cap C$:

Welche $x^{2}$ sind ein $y^{3}$? Jedes $z^{6}$ ist ein $x^{2}$ oder ein $y^{3}$ $\Rightarrow$: Ermittlung aus dem kgV der Hochzahlen!

$|B\cap C|={\sqrt[{6}]{10^{6}}}=10^{1}=10$

Berechnung der Anzahl der Elemente in Menge $A\cap C$:

(Wie bei $A\cap B$)

$|A\cap C|={\frac {|C|}{2}}={\frac {10^{2}}{2}}=50$

Berechnung der Anzahl der Elemente in Menge $A\cap B\cap C$: Ist ja wie $A\cap (B\cap C)$ und $B\cap C$ ist ja wie für $x^{6}$.

$|A\cap B\cap C|={\frac {|B\cap C|}{2}}={\frac {10}{2}}=5$

Die Anzahl der Elemente im "Universum" ist: $|E|=10^{6}$

Es ist nun die Anzahl der Elemente die in keiner der Mengen A,B,C liegen gesucht, also $|A'\cap B'\cap C'|$.

Diese lässt sich nun mittels des Inklusions-Exklusions-Prinzip berechnen:

$|A'\cap B'\cap C'|=|E|-|A|-|B|-|C|+|A\cap B|+|A\cap C|+|B\cap C|-|A\cap B\cap C|=10^{6}-500000-1000-100+500+50+10-5=499455$

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