TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 197

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Wieviele natürliche Zahlen n mit 1 \leq n \leq 10^6 gibt es, die weder durch 2 teilbar, noch Quadratzahlen, noch dritte, noch vierte Potenz einer natürlichen Zahl sind?

Lösungsvorschlag von mnemetz[Bearbeiten]

n = 10^6

  • a \in A: a ist gerade
  • b \in B: b = x^2
  • c \in C: c = x^3
  • d \in D: d = x^4

D fällt weg, denn irgendwas hoch 4 ist ja auch irgendwas hoch 2:

  • x * x * x * x = x^4
  • y = x * x = x^2
  • \Rightarrow y^2 = x * x * x * x = x^4

Berechnung der Anzahl der Elemente in Menge A:

die Hälfte aller Zahlen von 1 bis 10^6 ist gerade:

|A| = 10^6 / 2 = 500000

Berechnung der Anzahl der Elemente in Menge B:

|B| = \sqrt[2]{10^6}=10^3

Berechnung der Anzahl der Elemente in Menge C:

|C| = \sqrt[3]{10^6}=10^2

Berechnung der Anzahl der Elemente in Menge A \cap B:

Jede gerade Zahl hoch x ist gerade, jede ungerade Zahl hoch x ist ungerade \Rightarrow die Hälfte aller Zahlen aus B.

|A \cap B| = \frac{|B|}{2} = \frac{10^3}{2} = 500

Berechnung der Anzahl der Elemente in Menge B \cap C:

Welche x^2 sind ein y^3? Jedes z^6 ist ein x^2 oder ein y^3 \Rightarrow: Ermittlung aus dem kgV der Hochzahlen!

|B \cap C| = \sqrt[6]{10^6}=10^1 = 10

Berechnung der Anzahl der Elemente in Menge A \cap C:

(Wie bei A \cap B)

|A \cap C| = \frac{|C|}{2} = \frac{10^2}{2} = 50

Berechnung der Anzahl der Elemente in Menge A \cap
 B \cap C: Ist ja wie A \cap (B \cap C) und B \cap C ist ja wie für x^6.

|A \cap B \cap C| = \frac{|B \cap C|}{2} = \frac{10}{2} = 5

Die Anzahl der Elemente im "Universum" ist: |E| = 10^6

Es ist nun die Anzahl der Elemente die in keiner der Mengen A,B,C liegen gesucht, also |A' \cap B' \cap C'|.

Diese lässt sich nun mittels des Inklusions-Exklusions-Prinzip berechnen:

|A' \cap B' \cap C'| = |E| - |A| - |B| - |C| + |A \cap B| + |A \cap C| + |B \cap C| - |A \cap B \cap C| = 10^6 - 500000 - 1000 - 100 + 500 + 50 + 10 - 5 = 499455

Links zu ähnlichen Aufgaben[Bearbeiten]

TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 161