TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 213

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Bestimmen sie die allgemeine Lösung der Differenzengleichung:  x_{n+1} = (n+1) x_n + (n+1)!

 x_0 = 1

Lösungsvorschlag[Bearbeiten]

Homogene Lösung ausrechnen[Bearbeiten]

 x_{n+1}^{(h)} = (n+1) x_n^{(h)}

\Rightarrow x_n^{(h)} = C * n!

Partikuläre Lösung[Bearbeiten]

Methode "Variation der Konstanten" (wenn ich mich nicht irre) - wir fassen C als Folge auf:

 x_n^{(p)} = C_n * n!

Einsetzen von  x_n^{(p)} in die Gleichung der Angabe:

 x_{n+1} = (n+1) x_n + (n+1)!

 \Rightarrow C_{n+1} \cdot (n+1)! = (n+1) \cdot C_n \cdot n! + (n+1)!

Kürzen durch (n+1)!

 C_{n+1} = C_n + 1

 \Rightarrow C_n = n + C_0

Da uns nur eine partikuläre Lösung interessiert, können wir C_0 beliebig wählen. Ich setze  C_0 := 0

 \Rightarrow C_n = n

Und jetzt setzen wir für C_n aus unserem partikulären Ansatz n ein:

 x_n^{(p)} = n * n!

Allgemeine Lösung[Bearbeiten]

 x_n = x_n^{(h)} + x_n^{(p)} = C \cdot n! + n \cdot n!

Einsetzen des Anfangswerts[Bearbeiten]

In der Angabe ist x_0 = 1 gegeben. Wir müssen das nur in die allgemeine Lösung einsetzen:

x_0 = C \cdot 0! + n \cdot n! = C \Rightarrow C = x_0 = 1

Die Lösung für x_0 = 1 ist daher:

 x_n = n! + n \cdot n! = n! \cdot (1+n) = (n+1)!

Lösungsvorschlag mittels Iteration[Bearbeiten]

Bitte beachten, dass bei komplexeren Termen die obere Lösung auf jeden Fall zu bevorzugen ist!

Berechnung von speziellen Lösungen[Bearbeiten]

Anfangsbedigung:  x_0 = 0

x_1 = (0 + 1) \cdot x_0 + (0 + 1)!  = x_0 + 1

> Einsetzen von  x_1 in der Gleichung für x_2

x_2 = (1 + 1)       \cdot       (x_0 + 1) + (1 + 1)! =   2 * x_0 + 2 + 2

x_3 = (2 + 1) \cdot 2 \cdot  (x_0 + 2) + (2 + 1)! = 6 * x_0 + 12 + 6

x_4 = (3 + 1) \cdot 6 \cdot  (x_0 + 3) + (3 + 1)! = 24 * x_0 + 72 + 24

Erkennen der Lösungsstruktur[Bearbeiten]

Mit Hilfe der vier oben berechneten speziellen Lösungen, versuchen wir nun, die Struktur der Lösung zu erkennen.

x_1 =  {\color{Violet}(1)} * x_0 + {\color{red}1}

x_2 =  {\color{Violet}2}   * x_0 + {\color{Green}2} + {\color{red}2}

x_3 =  {\color{Violet}6} * x_0 + {\color{Green}12} + {\color{red}6}

x_4 = {\color{Violet}24} * x_0 + {\color{Green}72} + {\color{red}24}

Die hinterste Zahl (Rot) wird immer von {\color{red}n!} gebildet (Wenn der Index von x nun n entspricht) .

Die Zahl vor dem x_0 (Violett) ist, wie man sieht, genau dasselbe, also wieder {\color{Violet}n!}

Die vielleicht nun am schwiergisten zu erkenende Struktur ist die, welche die Addition der zwei Zahlen ergibt. Die Addition lässt sich hierbei ersetzten durch eine Multiplikation und zwar von der hintersten Zahl (Rot) mit n.

z.B.

    18 = {\color{Green}12} + {\color{red}6} = {\color{red}6} * 3
    96 = {\color{Green}72} + {\color{red}24} = {\color{red}24} * 4

Damit hätten wir alles, was wir für die Lösung benötigen.

x_n = {\color{Violet}n!} * x_0 + {\color{red}n!} * n

x_n = n! * (n + x_0)

x_n = n! * (n + 1) = (n + 1)!