TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 215

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Bestimmen sie die allgemeine Lösung der Differenzengleichung:  a_n = \frac{n+2}{3n}a_{n-1} + n^2 + 3n + 2


Musterloesung von Prof. Eigenthaler[Bearbeiten]

Da das Beispiel keiner geschafft hat, stellte uns Prof. Eigenthaler eine Musterloesung bereit:

a_n = \frac{n+2}{3n}a_{n-1} + n^2 + 3n + 2, \; \; n \ge 1

Eigenschaften: linear, inhomogen, 1. Ordnung (Buchseiten 273-275)

homogene Gleichung:

a_n = \frac{n+2}{3n}a_{n-1} =: \lambda a_{n-1}

Wir setzen a_0 =: C, dann gilt:

a_n = C \cdot \lambda_1 \cdot \lambda_2 \cdot \ldots \cdot \lambda_n = C \frac{3 \cdot 4 \cdot \ldots \cdot (n+2)}{3^n \cdot 1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot n} = C \frac{(n+2)!}{2 \cdot 3^n \cdot n!} = C \frac{(n+1)(n+2)}{2\cdot 3^n} =: a_n^{(h)}

Das ist die allgemeine Loesung der homogenen Gleichung.

Probe:

\frac{a_n^{(h)}}{a_{n-1}^{(h)}} = 
\frac{\frac{(n+1)(n+2)}{2\cdot 3^n}}{\frac{n(n+1)}{2\cdot 3^{n-1}}} = 
\frac{2 (n+1)(n+2) 3^{n-1}}{2n(n+1)3^n} = 
\frac{n+2}{3n}

inhomogene Gleichung:

Ansatz: Variation der Konstanten.

a_n^{(p)} = C_n \frac{(n+1)(n+2)}{2\cdot 3^n} = \frac{n+2}{3n} C_{n-1} \frac{n(n+1)}{2 \cdot 3^{n-1}} + n^2 + 3n + 2

\Rightarrow (C_n - C_{n-1}) \frac{(n+1)(n+2)}{2 \cdot 3^n} = n^2 + 3n + 2 = (n+1)(n+2)

\Rightarrow C_n - C_{n-1} = 2 \cdot 3^n \Rightarrow C_n = C_{n-1} + 2 \cdot 3^n

Wir waehlen C_0 = 0 und erhalten:

C_1 = 2 \cdot 3, \ldots, C_n = 2 \cdot 3 + \ldots + 2\cdot 3^n also

C_n = 2 \cdot 3 \cdot (1+3+\ldots+3^{n-1}) = 2\cdot 3 \frac{3^n -1}{3-1} =  3 (3^n -1) und somit

a_n^{(p)} = C_n \frac{(n+1)(n+2)}{2 \cdot 3^n} = 3 (3^n - 1) \frac{(n+1)(n+2)}{2\cdot 3^n}

das ist unsere partikulaere Loesung.

Jetzt koennen wir die allgemeine Loesung anschreiben:

a_n = a_n^{(h)} + a_n^{(p)} = (C + 3(3^n - 1)) \frac{(n+1)(n+2)}{2 \cdot 3^n} = (C + 3^{n+1} -3) \frac{n^2 + 3n + 2}{2 \cdot 3^n}, \;\; C \in \mathbb{R}

--Lewurm 21:07, 12. Jun 2008 (CEST)

Links[Bearbeiten]

ähnliche Beispiele:

  • Diskussion im Informatik-Forum WS07 Beispiel 206