TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 22

Man zeige für alle $n\in \mathbb {N} \setminus \{0\}$ : $\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}=a_{n}\sum _{k=1}^{n}b_{k}-\sum _{k=1}^{n-1}(a_{k+1}-a_{k})\sum _{j=1}^{k}b_{j}$

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Hilfreiches[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Vollständige Induktion

Vollständige Induktion

Induktionsanfang (IA)
Induktionsschritt (IS): Induktionsvoraussetzung (IV) $\Rightarrow$ Induktionsbehauptung (IB)

Leere Summe $(\sum _{k=1}^{0}...)$ ist immer $0$

Lösungsvorschlag von samuelp[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Induktionsanfang $n=1$ [Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Linke Seite: $a_{1}\sum _{k=1}^{1}b_{k}=a_{1}b_{1}$

Rechte Seite: $a_{1}\sum _{k=1}^{1}b_{k}-\sum _{k=1}^{0}(a_{k+1}-a_{k})\sum _{j=1}^{k}b_{j}=a_{1}b_{1}-0$

Induktionsschritt $n\rightarrow n+1$ [Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Induktionshypothese: $\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}=a_{n}\sum _{k=1}^{n}b_{k}-\sum _{k=1}^{n-1}(a_{k+1}-a_{k})\sum _{j=1}^{k}b_{j}$

Induktionsbehauptung: $\sum _{k=1}^{n+1}a_{k}b_{k}=a_{n+1}\sum _{k=1}^{n+1}b_{k}-\sum _{k=1}^{n}(a_{k+1}-a_{k})\sum _{j=1}^{k}b_{j}$

Linke Seite:

$\begin{aligned} \sum_{k = 1}^{n + 1} a_{k} b_{k} & = \sum_{k = 1}^{n} a_{k} b_{k} + a_{n + 1} b_{n + 1} \\ \overset{I . H .}{=} a_{n} \sum_{k = 1}^{n} b_{k} - \sum_{k = 1}^{n - 1} (a_{k + 1} - a_{k}) \sum_{j = 1}^{k} b_{j} + a_{n + 1} b_{n + 1} \\ \overset{\pm X}{=} a_{n} \sum_{k = 1}^{n} b_{k} - \sum_{k = 1}^{n - 1} (a_{k + 1} - a_{k}) \sum_{j = 1}^{k} b_{j} + a_{n + 1} b_{n + 1} + a_{n + 1} \sum_{k = 1}^{n} b_{k} - a_{n + 1} \sum_{k = 1}^{n} b_{k} \\ \overset{1.}{=} a_{n + 1} b_{n + 1} + a_{n + 1} \sum_{k = 1}^{n} b_{k} - \sum_{k = 1}^{n - 1} (a_{k + 1} \end{aligned}$

Herausheben von $\sum _{k=1}^{n}b_{k}$ aus den Termen $a_{n+1}\sum _{k=1}^{n}b_{k}$ und $a_{n}\sum _{k=1}^{n}b_{k}$ (erster und letzer Term)
Zusammenfassen von $a_{n+1}b_{n+1}+a_{n+1}\sum _{k=1}^{n}b_{k}$ zu $a_{n+1}\sum _{k=1}^{n+1}b_{k}$
Umdrehen der Differenz: $+(a_{n}-a_{n+1})\rightarrow -(a_{n+1}-a_{n})$
Zusammenfassen von $-\sum _{k=1}^{n-1}(a_{k+1}-a_{k})\sum _{j=1}^{k}b_{j}-(a_{n+1}-a_{n})\sum _{k=1}^{n}b_{k}$ zu $-\sum _{k=1}^{n}(a_{k+1}-a_{k})\sum _{j=1}^{k}b_{j}$