TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 220

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Gesucht ist die allgemeine Lösung der linearen homogenen Differenzengleichungen

(a) x_{n+2} + 12x_{n+1} + 36x_n = 0

(b) x_{n+2} - 2x_{n+1} + 5x_n = 0

(c) x_{n+2} + 11x_{n+1} + 28x_n = 0

Erklärung im Buch[Bearbeiten]

  • Seite 282, 283 und 284.
  • bzw Seite 299 und 300 in 4. Auflage

Lösungsvorschlag von thp[Bearbeiten]

Berechnen mit der charakteristischen Gleichung: \lambda^{2} + a \cdot \lambda + b = 0

Dann Fallunterscheidung laut Buch S. 283f., und man kommt auf folgende Lösungen:

(a) \lambda_{1} = \lambda_{2} = -6

Allgemeine Lösung: x_{n} = (-6)^{n} \cdot (C_{1} + C_{2} \cdot n)

(b) \lambda_{1,2} = 1 \pm 2i

Umrechnen auf Polarkoordinaten (Umrechnungsformel): r = \sqrt{5}, \varphi = arctan(\frac{2}{1}) = 1.11

Allgemeine Lösung: x_{n} = (\sqrt{5})^{n} \cdot (D_{1} \cdot cos(1.11n) + D_{2} \cdot sin(1.11n))

(c) \lambda_{1} = -7, \lambda_{2} = -4

Allgemeine Lösung: x_{n} = C_{1} \cdot (-7)^{n} + C_{2} \cdot (-4)^{n}

Links[Bearbeiten]