TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 220

Gesucht ist die allgemeine Lösung der linearen homogenen Differenzengleichungen

(a) $x_{n+2} + 12x_{n+1} + 36x_n = 0$

(b) $x_{n+2} - 2x_{n+1} + 5x_n = 0$

(c) $x_{n+2} + 11x_{n+1} + 28x_n = 0$

Erklärung im Buch

• Seite 282, 283 und 284.
• bzw Seite 299 und 300 in 4. Auflage

Lösungsvorschlag von thp

Berechnen mit der charakteristischen Gleichung: $\lambda^{2} + a \cdot \lambda + b = 0$

Dann Fallunterscheidung laut Buch S. 283f., und man kommt auf folgende Lösungen:

(a) $\lambda_{1} = \lambda_{2} = -6$

Allgemeine Lösung: $x_{n} = (-6)^{n} \cdot (C_{1} + C_{2} \cdot n)$

(b) $\lambda_{1,2} = 1 \pm 2i$

Umrechnen auf Polarkoordinaten (Umrechnungsformel): $r = \sqrt{5}, \varphi = arctan(\frac{2}{1}) = 1.11$

Allgemeine Lösung: $x_{n} = (\sqrt{5})^{n} \cdot (D_{1} \cdot cos(1.11n) + D_{2} \cdot sin(1.11n))$

(c) $\lambda_{1} = -7, \lambda_{2} = -4$

Allgemeine Lösung: $x_{n} = C_{1} \cdot (-7)^{n} + C_{2} \cdot (-4)^{n}$

Links

• Umrechnung Komplexe Zahl in Polarkoordinaten
• Homogene lineare Differenzengleichungen (in Josef Leydolds "Mathematik für Ökonomen")
• Formel zur Berechnung von Nullstellen mit komplexen Koeffizienten