TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 221

Gesucht sind die allgemeinen Lösungen der linearen homogenen Differenzengleichungen

(a) $x_{n+2} + 3x_{n+1} + 2x_n = 0$,

(b) $x_{n+2} - 6x_{n+1} + 25x_n = 0$,

(c) $x_{n+2} + 11x_{n+1} + 30.25x_n = 0$

Lösungsvorschlag von Berti

Gleichung (a)

$\lambda^2 + 3 \lambda + 2 = 0$

$\lambda_{1/2} = -\frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{9}{4} - 2} = -\frac{3}{2} \pm \frac{1}{2} \Rightarrow \lambda_1 = -1, \lambda_2 = -2$

Daher ergibt sich als Lösung $x_n = C_1 \lambda_1^n + C_2 \lambda_2^n = (-1)^n C_1 + (-2)^n C_2$

(Lösung mit Hilfe von Wolfram Alpha)

Gleichung (b)

$\lambda^2 - 6 \lambda + 25 = 0$

$\lambda_{1/2} = 3 \pm \sqrt{9 - 25} = 3 \pm 4 i \Rightarrow \lambda_1 = 3 + 4i, \lambda_2 = 3 - 4i$

Nach dem das Ergebnis sich nicht "schön" (Vielfaches von $\pi$, rationale oder ganze Zahl) darstellen lässt, belasse ich es bei der Darstellung in Form von kartesischen Koordinaten:

$x_n = C_1 (3 + 4i)^n + C_2 (3 - 4i)^n$

(Lösung mit Hilfe von Wolfram Alpha)

Gleichung (c)

$\lambda^2 + 11 \lambda + 30.25 = 0$

$\lambda_{1/2} = - \frac{11}{2} \pm \sqrt{\frac{11^2}{4} - 30.25} = - \frac{11}{2}$

$x_n = (C_1 + n C_2) (- 5.5)^n$

(Lösung mit Hilfe von Wolfram Alpha)

-- Berti933 (Diskussion) 22:42, 20. Jan. 2015 (CET)