TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 222

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Man bestimme die Lösung nachstehender Differenzengleichung zu den vorgegebenen Anfangsbedingungen:

4x_{n+2} + 12x_{n+1} - 7x_n = 36,\ \ x_0 = 6, x_1 = 3

Lösungsvorschlag[Bearbeiten]

Transkribiert von Datei:TU Wien-Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse) - ue6.pdf.

Homogene Lösung[Bearbeiten]

In unserem Fall lautet die zu lösende homogene Gleichung

4x_{n+2} + 12x_{n+1} - 7x_n = 0

Setzt man den Ansatz x_n^{(h)} = \lambda^n in obige Gleichung ein, erhält man die charakteristische Gleichung

4\lambda^{n+2} + 12\lambda^{n+1} - 7\lambda^n = 0 \Longleftrightarrow 4\lambda^2 + 12\lambda - 7 = 0 \Longleftrightarrow \lambda^2 + 3 \lambda - \frac 7 4 = 0

Lösen dieser quadratischen Gleichung mittels kleiner Lösungsformel ergibt folgende Lösungen:

\lambda_1 = \frac 1 2, \lambda_2 = -\frac 7 2

Somit lautet die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung

x_n^{(h)} = c_1 \cdot \left(\frac 1 2\right)^n + c_2 \cdot \left(-\frac 7 2\right)^n

Partikuläre Lösung[Bearbeiten]

Da die Störfunktion s_n = 36 konstant ist, kann der Ansatz x_n^{(p)} = A zur Bestimmung einer partikulären Lösung verwendet werden.

Einsetzten des Ansatzes in die Differenzengleichung ergibt

4A + 12A - 7A = 36 \Longrightarrow A = 4

Eine partikuläre Lösung ist somit x_n^{(p)} = 4.

Allgemeine Lösung[Bearbeiten]

Die Lösung der allgemeinen Differenzengleichung lautet

x_2n = x_n^{(h)} + x_n^{(p)} = c_1 \cdot \left(\frac 1 2\right)^n + c_2 \cdot \left(-\frac 7 2\right)^n + 4

Anfangswerte einsetzen[Bearbeiten]

Das Einsetzen der Anfangswerte x_0 = 6 und x_1 = 3 ergibt:

x_0 = 6 = c_1 \cdot \left(\frac 1 2\right)^0 + c_2 \cdot \left(-\frac 7 2\right)^0 + 4 \Longleftrightarrow 6 = c_1 + c_2 + 4 \Longleftrightarrow c_1 = 2 - c_2

x_1 = 3 = c_1 \cdot \left(\frac 1 2\right)^1 + c_2 \cdot \left(-\frac 7 2\right)^1 + 4 \Longleftrightarrow 3 = c_1 \cdot \frac 1 2 - c_2 \cdot \frac 7 2 + 4 \Longleftrightarrow c_1 = -2 + 7c_2

\Longrightarrow 2 - c_2 = -2 + 7c_2 \Longrightarrow c_2 = \frac 1 2 \Longrightarrow c_1 = \frac 3 2

Lösung[Bearbeiten]

Die gesuchte Lösung ist somit

x_n = \frac 3 2 \cdot \left(\frac 1 2\right)^n + \frac 1 2 \cdot \left(-\frac 7 2\right)^n + 4