TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 227

Man bestimme die Lösung nachstehender Differenzengleichung zu den vorgegebenen Anfangsbedingungen:

$4x_{n+2}+12x_{n+1}-7x_{n}=36,\ \ x_{0}=6,x_{1}=3$

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Lösungsvorschlag

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Homogene Lösung

In unserem Fall lautet die zu lösende homogene Gleichung

$4x_{n+2}+12x_{n+1}-7x_{n}=0$

Setzt man den Ansatz $x_{n}^{(h)}=\lambda ^{n}$ in obige Gleichung ein, erhält man die charakteristische Gleichung

$4\lambda ^{n+2}+12\lambda ^{n+1}-7\lambda ^{n}=0\Longleftrightarrow 4\lambda ^{2}+12\lambda -7=0\Longleftrightarrow \lambda ^{2}+3\lambda -{\frac {7}{4}}=0$

Lösen dieser quadratischen Gleichung mittels kleiner Lösungsformel ergibt folgende Lösungen:

$\lambda _{1}={\frac {1}{2}},\lambda _{2}=-{\frac {7}{2}}$

Somit lautet die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung

$x_{n}^{(h)}=c_{1}\cdot \left({\frac {1}{2}}\right)^{n}+c_{2}\cdot \left(-{\frac {7}{2}}\right)^{n}$

Partikuläre Lösung

Da die Störfunktion $s_{n}=36$ konstant ist, kann der Ansatz $x_{n}^{(p)}=A$ zur Bestimmung einer partikulären Lösung verwendet werden.

Einsetzten des Ansatzes in die Differenzengleichung ergibt

$4A+12A-7A=36\Longrightarrow A=4$

Eine partikuläre Lösung ist somit $x_{n}^{(p)}=4$.

Allgemeine Lösung

Die Lösung der allgemeinen Differenzengleichung lautet

$x_{2}n=x_{n}^{(h)}+x_{n}^{(p)}=c_{1}\cdot \left({\frac {1}{2}}\right)^{n}+c_{2}\cdot \left(-{\frac {7}{2}}\right)^{n}+4$

Anfangswerte einsetzen

Das Einsetzen der Anfangswerte $x_{0}=6$ und $x_{1}=3$ ergibt:

$x_{0}=6=c_{1}\cdot \left({\frac {1}{2}}\right)^{0}+c_{2}\cdot \left(-{\frac {7}{2}}\right)^{0}+4\Longleftrightarrow 6=c_{1}+c_{2}+4\Longleftrightarrow c_{1}=2-c_{2}$

$x_{1}=3=c_{1}\cdot \left({\frac {1}{2}}\right)^{1}+c_{2}\cdot \left(-{\frac {7}{2}}\right)^{1}+4\Longleftrightarrow 3=c_{1}\cdot {\frac {1}{2}}-c_{2}\cdot {\frac {7}{2}}+4\Longleftrightarrow c_{1}=-2+7c_{2}$

$\Longrightarrow 2-c_{2}=-2+7c_{2}\Longrightarrow c_{2}={\frac {1}{2}}\Longrightarrow c_{1}={\frac {3}{2}}$

Lösung

Die gesuchte Lösung ist somit

$x_{n}={\frac {3}{2}}\cdot \left({\frac {1}{2}}\right)^{n}+{\frac {1}{2}}\cdot \left(-{\frac {7}{2}}\right)^{n}+4$