TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 225

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Berechnen Sie die folgenden Summen durch Aufstellen und Lösen einer Rekursion mittels Ansatzmethode.

\sum_{i=1}^{n} i^2

Lösung[Bearbeiten]

Ansatz: \sum_{i=1}^{n} i^2 = \sum_{i=1}^{n-1} i^2 + n^2

Diesen Ansatz können wir umformen in eine inhomogene Differenzengleichung 1. Grades:

\Rightarrow x_n = x_{n-1} + n^2

Also lösen wir zuerst die homogene Gleichung:

x_n^{(h)} = x_{n-1}^{(h)} \Rightarrow x_0 = c, c = const.

Jetzt gilt es noch eine partikuläre Lösung zu finden:

Ansatz für Störfunktion n^2:\ x_n^{(p)} = A_0 + A_1n + A_2n^2

Wenn A_0 = c ist, wäre die homogene Lösung hier enthalten. Da das nicht sein darf, müssen wir noch den ganzen Term mit n multiplizieren.:

x_n^{(p)} = A_0n + A_1n^2 + A_2n^3

Dann setzen wir obigen Term hier ein: x_n - x_{n-1} = n^2

A_0n+A_1n^2+A_2n^3-A_0(n-1)-A_1(n-1)^2-A_2(n-1)^3 = n^2

A_0n+A_1n^2+A_2n^3-(A_0n-A_0)-(A_1n^2-2A_1n+A_1)-(A_2n^3-3A_2n^2+3A_2n-A_2) = n^2

A_0+2A_1n-A_1+3A_2n^2-3A_2n+A_2 = n^2

Eine Gleichung, drei Variablen - das schreit nach Koeffizientenvergleich

quadratische Teile: 3A_2 = 1 \Rightarrow A_2=\frac{1}{3}

lineare Teile: 2A_1-3A_2 = 0 \Rightarrow A_1=\frac{1}{2}

konstante Teile: A_0-A_1+A_2 = 0 \Rightarrow A_0=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}

\Rightarrow x_n^{(p)} = \frac{1}{3}n^3+\frac{1}{2}n^2+\frac{1}{6}n

Durch Zusammensetzen ergibt sich die allgemeine Lösung:

x_n = x_n^{(h)} + x_n^{(p)} = \frac{1}{3}n^3+\frac{1}{2}n^2+\frac{1}{6}n + c