TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 226

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Berechnen Sie die folgenden Summen durch Aufstellen und Lösen einer Rekursion mittels Ansatzmethode.

\sum_{i=1}^{n} q^i

Lösung von Berti[Bearbeiten]

Zuerst müssen wir die Rekursionsgleichung aufstellen. Dazu überlegen wir uns, wie die ersten paar Elemente aussehen und stellen dann eine allgemeine Gleichung auf:

x_n = x_{n-1} + q^n,\quad n >= 1

In diesem Fall ist für die Lösung der Gleichung sehr wichtig, dass die Summe bei 1 beginnt! Der erste Wert ist daher x_1 = q.

Anschließend berechnen wir die Lösung für die homogene Gleichung:

x_n^{(h)} = C \cdot \Pi_{i=0}^{n-1} a_i = C

Jetzt ist sehr wichtig, dass wir für C noch nicht einsetzen! Das dürfen wir erst machen, wenn wir die komplette Gleichung aufgestellt haben.

Also berechnen wir die partikuläre Lösung mit dem Ansatz x_n^{(p)} = A \cdot q^n:

A \cdot q^n = A \cdot q^{n-1} + q^n

Die Gleichung lässt sich durch q^n kürzen:

A = A \cdot q^{-1} + 1

Anschließend formen wir nach A um:

A - A \cdot q^{-1} = 1

A \cdot (1 - q^{-1}) = 1

A = \frac{1}{1 - \frac{1}{q}} = \frac{q}{q-1}

Deshalb erhalten wir: x_n^{(p)} = A \cdot q^n = \frac{q}{q-1} \cdot q^n = \frac{q^{n+1}}{q-1}

Diese Lösung addieren wir zu unserer homogenen Lösung, womit wir schon beinahe fertig sind:

x_n = \frac{q^{n+1}}{q-1} + C

Jetzt müssen wir uns nur noch C berechnen:

x_1 = q = \frac{q^{n+1}}{q-1} + C = \frac{q^2}{q-1} + C

C = q - \frac{q^2}{q - 1}

C = \frac{q \cdot (q - 1) - q^2}{q - 1}

C = - \frac{q}{q - 1}

Daher ist x_n = \frac{q^{n+1}}{q - 1} - \frac{q}{q - 1} = \frac{q \cdot (q^n - 1)}{q - 1}.

(Lösung mit Hilfe von Wolfram Alpha)

-- Berti933 (Diskussion) 10:35, 21. Jan. 2015 (CET)