TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 239

Lösen Sie die Rekursion mit der Ansatzmethode: $a_{n}=2a_{n-1}+(1+2^{n})^{2}\quad (n\geq 1),a_{0}=2$

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Lösungsvorschlag von Setscha

Zuerst müssen wir die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung ausrechnen. Das machen wir mit der Formel $a_{n}^{(h)}=C\prod _{i=0}^{n-1}a_{i}$. In unserem Fall also

$a_{n}^{(h)}=C\prod _{i=0}^{n-1}2=C2^{n-1}$

Jetzt müssen wir noch die partikuläre Lösung ausrechnen. Da unsere Störfunktion $(1+2^{n})^{2}=1+2^{n+1}+2^{2n}$ ist, wenden wir das Superpositionsprinzip an. Dadurch haben wir drei partikuläre Lösungen mit den folgenden Ansätzen (siehe Buch S. 301):

${\begin{aligned}s_{n}^{(1)}=1&\Longrightarrow a_{n}^{(1)}=A\\s_{n}^{(2)}=2^{n+1}&\Longrightarrow a_{n}^{(2)}=An2^{n+1}{\text{(Mal n, weil es sich hier um einen Resonanzfall handelt)}}\\s_{n}^{(3)}=2^{2n}&\Longrightarrow a_{n}^{(2)}=A2^{2n}\\\end{aligned}}$

Jetzt rechnen wir für jeden Ansatz A aus, indem wir die jeweiligen Ansätze in die ursprüngliche Gleichung einsetzten (nur mit ihrer eigenen Störfunktion):

$a_{n}^{(1)}:{\begin{aligned}A&=2*A+1&|-2A\\-A&=1&|*(-1)\\A&=-1\end{aligned}}$

$a_{n}^{(2)}:{\begin{aligned}An2^{n+1}&=2*A(n-1)2^{n+1}+2^{n+1}&|:2^{n+1}\\An&=An-A+1&|-An+A\\A&=1\end{aligned}}$

$a_{n}^{(3)}:{\begin{aligned}A2^{2n}&=2*A2^{2(n-1)}+2^{2n}\\A2^{2n}&=A2^{2n-1}+2^{2n}&|:2^{2n}\\A&={\frac {A}{2}}+1\\A&=2\end{aligned}}$

Jetzt können wir uns die Lösungsgesamtheit $a_{n}=a_{n}^{(h)}+a_{n}^{(1)}+a_{n}^{(2)}+a_{n}^{(3)}$ ausrechnen, indem wir die jeweiligen A in die partikulären Lösungen einsetzen:

$a_{n}=\underbrace {C2^{n-1}} _{a_{n}^{(h)}}-\underbrace {1} _{a_{n}^{(1)}}+\underbrace {n2^{n+1}} _{a_{n}^{(2)}}+\underbrace {2*2^{2n}} _{a_{n}^{(3)}}$

Zum Schluss müssen wir nur noch durch Einsetzen von $a_{0}=2$ C ausrechnen:

${\begin{aligned}2&=C*2^{0-1}-1+0*2^{0+1}+2^{2*0+1}\\2&={\frac {C}{2}}-1+2&|-2+1\\1&={\frac {C}{2}}&|*2\\C&=2\\\end{aligned}}$

dann haben wir die Lösung:

${\begin{aligned}a_{n}&=2*2^{n-1}-1+n2^{n+1}+2*2^{2n}\\&=2^{n}-1+n2^{n+1}+2^{2n+1}\end{aligned}}$