TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 247

Lösen Sie die Rekursion mit der Ansatzmethode: $2a_{n}-7a_{n-1}+6a_{n-2}=(n-1)2^{n+2}\qquad (n\geq 2),a_{0}=0,a_{1}=1$

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Lösungsvorschlag von Setscha

Zuerst müssen wir die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung ausrechnen. Das machen wir mit der charakteristischen Gleichung. Dadurch erhalten wir

${\begin{aligned}2\lambda ^{2}-7\lambda +6&=0\\\lambda ^{2}-{\frac {7}{2}}\lambda +3&=0\\\lambda _{1,2}&={\frac {7}{4}}\pm \underbrace {\sqrt {{\frac {49}{16}}-{\frac {48}{16}}}} _{\frac {1}{4}}\end{aligned}}$

Dadurch erhalten wir $a_{n}^{(h)}=C_{1}2^{n}+C_{2}({\frac {3}{2}})^{n}$.

Jetzt müssen wir noch die partikuläre Lösung ausrechnen. Da unsere Störfunktion $(n-1)2^{n+2}=n2^{n+2}-2^{n+2}$ ist, wenden wir das Superpositionsprinzip an. Dadurch haben wir zwei partikuläre Lösungen mit den folgenden Ansätzen (siehe Buch S. 301):

${\begin{aligned}s_{n}^{(1)}=n2^{n+2}&\Longrightarrow a_{n}^{(1)}=(A+Bn)n2^{n+2}\\s_{n}^{(2)}=2^{n+2}&\Longrightarrow a_{n}^{(2)}=An2^{n+2}\\\end{aligned}}$

Beide Ansätze werden mit n multipliziert, weil es sich um Resonanzfälle handelt.

Jetzt rechnen wir für jeden Ansatz A aus, indem wir die jeweiligen Ansätze in die ursprüngliche Gleichung einsetzten (nur mit ihrer eigenen Störfunktion):

$n^{0}$