TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 25

Zeigen Sie, dass ${\sqrt {3}}$ irrational ist!

Hilfreiches

Indirekter Beweis

Primzahl teilt Quadrat

Primzahl teilt Quadrat

wenn $p|a^{2}$ dann auch $p|a$ Es gelten folgende Voraussetzungen:

• $p$ muss eine Primzahl sein
• $a$ muss eine ganze Zahl sein

Es ist etwas Erklärung notwendig, um dieses Statement zu begründen. Laut Voraussetzung ist $a$ eine natürliche Zahl. Es können 2 Fälle eintreten:

1. $a$ ist durch $p$ teilbar. Dann ist auch $a^{2}$ durch $p$ teilbar
2. $a$ ist nicht durch $p$ teilbar. Dann ist auch $a^{2}$ nicht durch $p$ teilbar: wenn $p$ nicht in der Primzahlenzerlegung von $a$ vorkommt, kann es auch nicht in der von $a^{2}$ vorkommen

Die Kontraposition des zweiten Falls: "Wenn $a^{2}$ durch $p$ teilbar ist, dann auch $a$". (Wäre $a$ nicht durch $p$ teilbar dann auch $a^{2}$ nicht)

Lösungsvorschlag von samuelp

Angenommen: ${\sqrt {3}}$ ist eine rationale Zahl. Dann ist es möglich ${\sqrt {3}}$ als Bruch darzustellen: ${\sqrt {3}}={a \over b}$ mit natürlichen Zahlen $a$ und $b$. Weil es für jede rationale Zahl einen Burch gibt, der soweit wie möglich gekürzt ist, muss das auch für ${\sqrt {3}}$ gelten. Wir nehmen an ${a \over b}$ ist dieser Bruch und somit maximal gekürzt ist.

Wir versuchen einen auf einen Widerspruch zu stoßen. Dazu formen wir um:

${\begin{aligned}{\sqrt {3}}&=&{a \over b}\\3&=&{a^{2} \over b^{2}}\\3b^{2}&=&a^{2}\end{aligned}}$

Aus der letzten Gleichung geht hervor, dass $a^{2}$ durch 3 teilbar ist. Weil 3 eine Primzahl ist, muss auch $a$ durch 3 teilbar sein (siehe Erlärung oben), setzen wir $r$ sodass $a=3r$.

Weitere Umformung:

${\begin{aligned}3b^{2}&=&a^{2}\\3b^{2}&=&9r^{2}\\b^{2}&=&3r^{2}\end{aligned}}$

Ähnlich wie oben erkennen wir, dass $b^{2}$ durch 3 teilbar ist und damit auch $b$.

Jetzt erkennen wir einen Widerspruch zu unserer Annahme, dass der Bruch ${a \over b}$ soweit wie möglich gekürzt ist, da sowohl $a$ als auch $b$ durch 3 teilbar sind.