TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 25
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Primzahl teilt Quadrat[Bearbeiten]
Zeigen Sie, dass
irrational ist!
Hilfreiches[edit]
Indirekter Beweis
wenn
dann auch Es gelten folgende Voraussetzungen:- muss eine Primzahl sein
- muss eine ganze Zahl sein
Es ist etwas Erklärung notwendig, um dieses Statement zu begründen. Laut Voraussetzung ist
eine natürliche Zahl. Es können 2 Fälle eintreten:- ist durch teilbar. Dann ist auch durch teilbar
- ist nicht durch teilbar. Dann ist auch nicht durch teilbar: wenn nicht in der Primzahlenzerlegung von vorkommt, kann es auch nicht in der von vorkommen
Die Kontraposition des zweiten Falls: "Wenn
durch teilbar ist, dann auch ". (Wäre nicht durch teilbar dann auch nicht)Lösungsvorschlag von samuelp[edit]
Angenommen:
ist eine rationale Zahl. Dann ist es möglich als Bruch darzustellen: mit natürlichen Zahlen und . Weil es für jede rationale Zahl einen Burch gibt, der soweit wie möglich gekürzt ist, muss das auch für gelten. Wir nehmen an ist dieser Bruch und somit maximal gekürzt ist.Wir versuchen einen auf einen Widerspruch zu stoßen. Dazu formen wir um:
Aus der letzten Gleichung geht hervor, dass
durch 3 teilbar ist. Weil 3 eine Primzahl ist, muss auch durch 3 teilbar sein (siehe Erlärung oben), setzen wir sodass .Weitere Umformung:
Ähnlich wie oben erkennen wir, dass
durch 3 teilbar ist und damit auch .Jetzt erkennen wir einen Widerspruch zu unserer Annahme, dass der Bruch
soweit wie möglich gekürzt ist, da sowohl als auch durch 3 teilbar sind.