TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 26

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Zeigen Sie, dass  \sqrt{5} irrational ist!

Hilfreiches[Bearbeiten]

Indirekter Beweis


Primzahl teilt Quadrat[Bearbeiten]

wenn p|a^2 dann auch p|a

Es gelten folgende Voraussetzungen:

  • p muss eine Primzahl sein
  • a muss eine ganze Zahl sein

Es ist etwas Erklärung notwendig, um dieses Statement zu begründen. Laut Voraussetzung ist a eine natürliche Zahl. Es können 2 Fälle eintreten:

  1. a ist durch p teilbar. Dann ist auch a^2 durch p teilbar
  2. a ist nicht durch p teilbar. Dann ist auch a^2 auch nicht durch p teilbar: wenn p nicht in der Primzahlenzerlegung von a vorkommt, kann es auch nicht in der von a^2 vorkommen

Die Kontraposition des zweiten Falls: "Wenn a^2 durch p teilbar ist, dann auch a". (Wäre a nicht durch p teilbar dann auch a^2 nicht)


Lösungsvorschlag von samuelp[Bearbeiten]

Angenommen:  \sqrt{5} ist eine rationale Zahl. Dann ist es möglich \sqrt{5} als Bruch darzustellen: \sqrt{5}={a\over b} mit natürlichen Zahlen a und b. Weil es für jede rationale Zahl einen Burch gibt, der soweit wie möglich gekürzt ist, muss das auch für \sqrt{5} gelten. Wir nehmen an {a\over b} ist dieser Bruch und somit maximal gekürzt ist.

Wir versuchen einen auf einen Widerspruch zu stoßen. Dazu formen wir um:


\begin{align}
\sqrt{5} &=& {a\over b} \\
5 &=& {a^2 \over b^2} \\
5 b^2 &=& a^2
\end{align}

Aus der letzten Gleichung geht hervor, dass a^2 durch 5 teilbar ist. Weil 5 eine Primzahl ist, muss auch a durch 5 teilbar sein (siehe Erlärung oben), setzen wir r sodass a=5r.

Weitere Umformung:


\begin{align}
5 b^2 &=& a^2 \\
5 b^2 &=& 25 r^2 \\
b^2 &=& 5 r^2
\end{align}

Ähnlich wie oben erkennen wir, dass b^2 durch 5 teilbar ist und damit auch b.

Jetzt erkennen wir einen Widerspruch zu unserer Annahme, dass der Bruch {a\over b} soweit wie möglich gekürzt ist, da sowohl a als auch b durch 5 teilbar sind.

Lösungsvorschlag[Bearbeiten]

  • Behauptung:  \sqrt{5} \notin \mathbb{Q}
  • Beweis:

angenommen  \sqrt{5} = \frac{p}{q} \in \mathbb{Q} , wobei  p,q \in \mathbb{N}, q > 0, ggT(p,q)=1 (="p und q sind teilerfremd")

 5 = \frac{p^2}{q^2}

 5q^2 = p^2

 \Rightarrow p^2 ist durch 5 teilbar  \Rightarrow p ist durch 5 teilbar  \Rightarrow p = 5r (weil 5 eine Primzahl ist. -> Primfaktorzerlegung siehe Forenbeitrag unten. wurde auch in Mathematik1 Übungsgruppe GL 09.11.06 - Urbanek so abgehandelt)

 (5r)^2 = 5q^2

 25r^2 = 5q^2

 5r^2 = q^2

 \Rightarrow q^2 ist durch 5 teilbar  \Rightarrow q ist durch 5 teilbar

 \Rightarrow p, q sind nicht teilerfremd, weil beide durch 5 und nicht nur durch 1 (siehe Annahme) teilbar sind


(aus f.thread:35452 - mit AMSLaTeX formatiert) --Mnemetz 20:32, 18. Okt 2005 (CEST)