TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 26

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Zeigen Sie, dass irrational ist!

Hilfreiches[edit]

Indirekter Beweis

Primzahl teilt Quadrat
Primzahl teilt Quadrat[Bearbeiten]

wenn dann auch Es gelten folgende Voraussetzungen:

  • muss eine Primzahl sein
  • muss eine ganze Zahl sein

Es ist etwas Erklärung notwendig, um dieses Statement zu begründen. Laut Voraussetzung ist eine natürliche Zahl. Es können 2 Fälle eintreten:

  1. ist durch teilbar. Dann ist auch durch teilbar
  2. ist nicht durch teilbar. Dann ist auch nicht durch teilbar: wenn nicht in der Primzahlenzerlegung von vorkommt, kann es auch nicht in der von vorkommen

Die Kontraposition des zweiten Falls: "Wenn durch teilbar ist, dann auch ". (Wäre nicht durch teilbar dann auch nicht)

Lösungsvorschlag von samuelp[edit]

Angenommen: ist eine rationale Zahl. Dann ist es möglich als Bruch darzustellen: mit natürlichen Zahlen und . Weil es für jede rationale Zahl einen Bruch gibt, der soweit wie möglich gekürzt ist, muss das auch für gelten. Wir nehmen an ist dieser Bruch und somit maximal gekürzt ist.

Wir versuchen einen auf einen Widerspruch zu stoßen. Dazu formen wir um:

Aus der letzten Gleichung geht hervor, dass durch 5 teilbar ist. Weil 5 eine Primzahl ist, muss auch durch 5 teilbar sein (siehe Erlärung oben), setzen wir sodass .

Weitere Umformung:

Ähnlich wie oben erkennen wir, dass durch 5 teilbar ist und damit auch .

Jetzt erkennen wir einen Widerspruch zu unserer Annahme, dass der Bruch soweit wie möglich gekürzt ist, da sowohl als auch durch 5 teilbar sind.

Lösungsvorschlag[edit]

  • Behauptung:
  • Beweis:

angenommen , wobei (="p und q sind teilerfremd")

ist durch 5 teilbar ist durch 5 teilbar (weil 5 eine Primzahl ist. -> Primfaktorzerlegung siehe Forenbeitrag unten. wurde auch in Mathematik1 Übungsgruppe GL 09.11.06 - Urbanek so abgehandelt)

ist durch 5 teilbar ist durch 5 teilbar

sind nicht teilerfremd, weil beide durch 5 und nicht nur durch 1 (siehe Annahme) teilbar sind


(aus f.thread:35452 - mit AMSLaTeX formatiert) --Mnemetz 20:32, 18. Okt 2005 (CEST)