TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 27

Aus VoWi
Wechseln zu: Navigation, Suche

Zeigen Sie, dass  \sqrt{6} irrational ist!

Lösung[Bearbeiten]

Beweis durch Widerspruch:

  • Annahme:  \sqrt{6} ist eine rationale Zahl
  • Vorraussetzung:  \sqrt{6} = \frac{p}{q} \in \mathbb{Q} , wobei  p,q \in \mathbb{Z}, q > 0, ggT(p,q)=1 (Diese Eigenschaft wollen wir verletzen)

 6 = \frac{p^2}{q^2}

 p^2=6q^2

(6 dargestellt durch Primfaktorenzerlegung)

 p^2=2*(3q^2)  \Rightarrow p^2 ist gerade (2*x ist per Definition gerade)  \Rightarrow p ist gerade (nur eine gerade Zahl kann mit sich selbst multipliziert ein gerades Ergebnis haben)

(2m)^2 = 2*(3q^2)

4m^2 = 2*(3q^2) /:2

2m^2 = 3q^2 \Rightarrow q^2 ist gerade (wie bei p^2) \Rightarrow q ist gerade (der Multiplikator 3 ist ungerade, also muss q selbst gerade sein damit die rechte Seite gerade ist)

Da p und q beide gerade sind (2*x) kann ihr größter gemeinsamer Teiler NICHT 1 sein \Rightarrow Widerspruch zur Vorraussetzung

Bemerkung: selbe Vorgangsweise für restliche Beispiele --Pie3 17:14, 5. Mai 2011 (CEST)


Grundlagen: 2._VO_17.10.2005, 3._VO_18.10.2005