TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 28

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Zeigen Sie, dass  \sqrt{10} irrational ist!

  • Behauptung:  \sqrt{10} \notin \mathbb{Q}
  • Beweis:

angenommen  \sqrt{10} = \frac{p}{q} \in \mathbb{Q} , wobei  p,q \in \mathbb{N}, q > 0, ggT(p,q)=1 (="p und q sind teilerfremd")

 10 = \frac{p^2}{q^2}

 10q^2 = p^2

 \Rightarrow p^2 ist durch 10 teilbar  \Rightarrow p ist durch 10 teilbar  \Rightarrow p = 10r

 (10r)^2 = 10q^2

 100r^2 = 10q^2

 10r^2 = q^2

 \Rightarrow q^2 ist durch 10 teilbar  \Rightarrow q ist durch 10 teilbar

 \Rightarrow p, q sind nicht teilerfremd, weil beide durch 10 und nicht nur durch 1 (siehe Annahme) teilbar sind.

=> die Behauptung  \sqrt{10} \in \mathbb{Q} ist falsch.


(aus f.thread:35452 - abgewandelte Aufgabenstellung - mit AMSLaTeX formatiert) --Mnemetz 20:32, 18. Okt 2005 (CEST)


Grundlagen: 2._VO_17.10.2005, 3._VO_18.10.2005