TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 299

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Man bestimme im Graphen mit Hilfe von die Anzahl der Dreiecke (d.h. die Anzahl der Kreise der Länge 3).

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Lösungsvorschlag[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

ist die Adjazenzmatrix von zur dritten Potenz.

Lemma:

Sei ein gerichteter Graph mit Adjazenzmatrix . Dann ist der .Eintrag von gleich der Anzahl der verschiedenen Kantenzüge mit Startknoten i und Endknoten j,welche aus x Kanten bestehen.

Adjazenzmatrix

Potenzieren von Matrizen:

Quadratische Matrizen können potenziert werden;

(siehe auch Wikipädia)

Multiplizieren von Matrizen:

(siehe auch Wikipädia)

Kubizierte Adjazenzmatrix:

Wir suchen nach Kreisen im Graphen, d.h. Kantenzüge mit gleichem Start- und Endknoten; das sind genau diejenigen, die die Hauptdiagonale der Adjazenzmatrix bilden.

Man kommt also auf 4 + 4 + 4 + 4 + 8 = 24 Kreise (der Länge 3).

Hier bilden aber etliche Kreise dasselbe Dreieck ab: (abc)=(acb)=(bac)=(bca)=(cab)=(cba), sprich alle Permutationen der drei jeweils beteiligten Knoten.

Um auf die Anzahl der Dreiecke zu kommen, sollte man also die Anzahl der Kreise durch die Anzahl der mögl. Permutationen dividieren:

Dreiecke.

--Baccus 04:14, 7. Dez 2006 (CET)

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