TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 30

Zeigen sie, dass ${\sqrt {40}}$ irrational ist.

Lösungsvorschlag von frunobulax

Beweis durch Widerspruch

Angeommen ${\sqrt {40}}={\frac {p}{q}}\in \mathbb {Q} ,p,q\in \mathbb {N} ,q>0,ggT(p,q)=1$. Letzteres ist o.B.d.A. möglich: Sind sie nicht teilerfremd, so kann der Bruch gekürzt werden bis teilerfremde $p,q$ gefunden werden.

$40={\frac {p^{2}}{q^{2}}}$

$40q^{2}=p^{2}$

Somit ist $p^{2}$ durch 40 teilbar. 40 ist keine Quadratzahl, somit ist auch $p$ durch 40 teilbar: $p=40n$

$(40n)^{2}=40q^{2}$

$40n^{2}=q^{2}$

Somit ist auch $q^{2}$ durch 40 teilbar, und somit auch $q$. Dies widerspricht der Annahme der Teilerfremdheit!

Daher ist ${\sqrt {40}}\notin \mathbb {Q}$.