TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 30

Zeigen sie, dass $\sqrt{40}$ irrational ist.

Lösungsvorschlag von frunobulax

Beweis durch Widerspruch

Angeommen $\sqrt{40} = \frac{p}{q} \in \mathbb{Q}, p, q \in \mathbb{N}, q > 0, ggT(p, q) = 1$. Letzteres ist o.B.d.A. möglich: Sind sie nicht teilerfremd, so kann der Bruch gekürzt werden bis teilerfremde $p, q$ gefunden werden.

$40 = \frac{p^2}{q^2}$

$40q^2 = p^2$

Somit ist $p^2$ durch 40 teilbar. 40 ist keine Quadratzahl, somit ist auch $p$ durch 40 teilbar: $p = 40n$

$(40n)^2 = 40q^2$

$40n^2 = q^2$

Somit ist auch $q^2$ durch 40 teilbar, und somit auch $q$. Dies widerspricht der Annahme der Teilerfremdheit!

Daher ist $\sqrt{40} \notin \mathbb{Q}$.