TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 31

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Man finde alle sechsten Wurzeln von  z = 8i in  \mathbb{C} und stelle sie in der Gaußschen Zahlenebene dar!

Lösungsvorschlag[Bearbeiten]

Zu lösen ist also:  z^6 = 0 + 8i

Wir müssen die vorliegende Form in die Polarform umwandeln, und zwar in:

 z = r*(\cos\phi + i*\sin\phi)

  •  r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{64} = 8
  •  \phi = \frac{\pi}{2} da gilt:
\varphi =  \begin{cases}\arctan\frac{b}{a}&\mathrm{f\ddot ur}\ a>0\\
\arctan\frac ba+\pi&\mathrm{f\ddot ur}\ a<0,b\geq0\\
\arctan\frac ba-\pi&\mathrm{f\ddot ur}\ a<0,b<0\\
\pi/2&\mathrm{f\ddot ur}\ a=0,b>0\\
-\pi/2&\mathrm{f\ddot ur}\ a=0,b<0
\end{cases}
{}=\begin{cases}\arccos\frac ar&\mathrm{f\ddot ur}\ b\geq0\\
\arccos\left(-\frac ar\right)-\pi&\mathrm{f\ddot ur}\ b<0
\end{cases}

Somit ergibt die Überführung in die Polarform:

 z^6 = 8*(\cos\frac{\pi}{2} + i*\sin\frac{\pi}{2})

Die "Wurzelformel" ist: (Siehe auch http://de.wikibooks.org/wiki/Komplexe_Zahlen#Satz_von_MOIVRE sowie das Beispiel danach auf dieser Website)

Die  \frac{\pi}{2} entsprechen den  90^\circ im folgenden.

 z_{0,...,5} = \sqrt[6]{8}*(\cos\frac{90^\circ + k*360^\circ}{6} + i\sin\frac{90^\circ + k*360^\circ}{6}) \qquad k=\{0,1,2,3,4,5\}

 k = 0 \qquad z_0 = \sqrt[6]{8}*(\cos\frac{90^\circ + 0*360^\circ}{6} + i\sin\frac{90^\circ + 0*360^\circ}{6}) = \sqrt[6]{8}*(0.9659 + i*0.2588) \qquad z_0=1.366+0,366i

 k = 1 \qquad z_1 = \sqrt[6]{8}*(\cos\frac{90^\circ + 1*360^\circ}{6} + i\sin\frac{90^\circ + 1*360^\circ}{6}) = \sqrt[6]{8}*(0.2588 + i*0.9659) \qquad z_1=0.366+1,366i

 k = 2 \qquad z_2 = \sqrt[6]{8}*(\cos\frac{90^\circ + 2*360^\circ}{6} + i\sin\frac{90^\circ + 2*360^\circ}{6}) = \sqrt[6]{8}*(-0.7071 + i*0.7071) \qquad z_2=-1+i

 k = 3 \qquad z_3 = \sqrt[6]{8}*(\cos\frac{90^\circ + 3*360^\circ}{6} + i\sin\frac{90^\circ + 3*360^\circ}{6}) = \sqrt[6]{8}*(-0.9659 + i*-0.2588) \qquad z_3=-1.366-0,366i

 k = 4 \qquad z_4 = \sqrt[6]{8}*(\cos\frac{90^\circ + 4*360^\circ}{6} + i\sin\frac{90^\circ + 4*360^\circ}{6}) = \sqrt[6]{8}*(-0.2588 + i*-0.9659) \qquad z_4=-0.366-1,366i

 k = 5 \qquad z_5 = \sqrt[6]{8}*(\cos\frac{90^\circ + 5*360^\circ}{6} + i\sin\frac{90^\circ + 5*360^\circ}{6}) = \sqrt[6]{8}*(0.7071 + i*-0.7071) \qquad z_5=1-i

Beispiel54.png

Siehe auch:

Lösung von zool[Bearbeiten]

Die Rechnung ist mir viel zu kompliziert, das mit den Winkel geht doch viel einfacher.

Ausgangswinkel / Wurzelgrad = w0

Der Unterschied zwischen den Ergebnissen ist 360 / Wurzelgrad, diesen Abstand braucht man dann nur immer dazu addieren.

w0= 90 / 6 = 15° 
Abstand = 360/6 = 60° 
w1 = w0+ 60 = 75°
w2 = w1+60 = 135°
w3 = w2+60 = 195°
w4 = w3+60 = 255°

Wer unbedingt will kann das auch mit Pi rechnen, dann ists halt Pi/3 das man zu den w0 = Pi/12 hinzuzählen muss.

--Zool 21:58, 12. Nov 2008 (CET)

Lösung von Woife[Bearbeiten]

Wenn man die Angabe in die wirkliche Polarform [Betrag, Winkel] umwandelt, wird das Beispiel sehr einfach (siehe Buch Seite 13,14).

z = 0 + 8i = [8, \frac{\pi}{2}]

w = \sqrt[6]{8} (z)

w_{0} = [\sqrt[6]{8}, \frac{\pi}{12} + \frac{2\pi \cdot 0}{6}]

w_{1} = [\sqrt[6]{8}, \frac{\pi}{12} + \frac{2\pi \cdot 1}{6}]

w_{2} = [\sqrt[6]{8}, \frac{\pi}{12} + \frac{2\pi \cdot 2}{6}]

w_{3} = [\sqrt[6]{8}, \frac{\pi}{12} + \frac{2\pi \cdot 3}{6}]

w_{4} = [\sqrt[6]{8}, \frac{\pi}{12} + \frac{2\pi \cdot 4}{6}]

w_{5} = [\sqrt[6]{8}, \frac{\pi}{12} + \frac{2\pi \cdot 5}{6}]

--Woife 20:35, 21. Nov 2007 (CET)