TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 32

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Man finde alle sechsten Wurzeln von  z=-27 in \mathbb{C} und stelle sie in der Graußschen Zahlenebene dar.


Hilfreiches[Bearbeiten]

Lösungsvorschlag von Jozott[Bearbeiten]

Zuerst ist es nötig von der Komponenten-Darstellung in die Polarform zu konvertieren.

Der Betrag |z| kann nur positiv sein, daher ist es möglich |z|=\sqrt{27^{2}+0^{2}} zu verwenden, da a=-27 \wedge b= 0.

|z|=\sqrt[6]{27}= \sqrt[6]{3^3} =\sqrt{3}

Da anegativ ist, und somit auf der negativen x-Achse liegt, ist der Winkel \phi = 180^\circ = \pi.

Die allgemeine Form für alle n-ten Wurzeln einer komplexen Zahl in Polarform ist:

w_j =[\sqrt[n]{R}, \frac{\phi}{n} + \frac{2\pi j}{n}]

Wie müssen nur noch einsetzen für w_0 bis w_5:

w_0 =[\sqrt{3}, \frac{\pi}{6}]

w_1 =[\sqrt{3}, \frac{3\pi }{6}]

w_2 =[\sqrt{3},\frac{5\pi }{6}]

w_3 =[\sqrt{3},\frac{7\pi }{6}]

w_4 =[\sqrt{3}, \frac{9\pi }{6}]

w_5 =[\sqrt{3}, \frac{11\pi }{6}]

Um das ganze auf der Graußschen Zahlenebene darzustellen zieht man praktisch einfach einen Kreis mir dem Radius \sqrt{3} und zeichnet w_0
mit \phi = \frac{\pi}{6} = 30^\circ.

Alle zu jeder weiteren Wurzel wird zu \phi \frac{2\pi}{6} = 60^\circ dazu addiert.