TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 322

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Bestimmen Sie zur folgenden Permutation \pi die Zyklendarstellung, das Vorzeichen, sowie die inverse Permutation \pi^{-1}:


\pi =
\begin{pmatrix} 
1& 2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9  \\
8 &9& 1& 7 &2& 5& 4& 3& 6
\end{pmatrix}

Hilfreiches[Bearbeiten]

Signum einer Permutation
Signum einer Permutation[Bearbeiten]

\sgn(\pi) =(-1)^{\text{Anzahl der Inversionen von } \pi} = (-1)^{\text{Anzahl Zykel}+ \sum_{i}\text{Länge des i-ten Zykel}} \quad

Injektivität
Injektivität[Bearbeiten, WP, 1.65 Definition]

"Verschiedene Elemente der Definitionsmenge werden auf verschiedene Elemente der Zielmenge abgebildet": a_{1}, a_{2}  \in  A, a_{1} \neq a_{2} \Rightarrow f(a_{1}) \neq f(a_{2}) oder äquivalent: a_{1}, a_{2}  \in  A, f(a_{1}) = f(a_{2}) \Rightarrow a_{1} = a_{2}

Lösungsvorschlag[Bearbeiten]

Zyklendarstellung[Bearbeiten]

\pi = (183)(2965)(47)

Erklärung: http://www.youtube.com/watch?v=t40QqRIXLRs

Signum[Bearbeiten]

\sgn(\pi) = (-1)^{3 + 9} = 1

inverse Permuation[Bearbeiten]

Dazu dreht man die zwei Zeilen um und sortiert dann die Spalten, dass die Zahlen in der oberen Zeile aufsteigen


\pi^{-1} =
\begin{pmatrix} 
1& 2 & 3 & 4 & 5 &6 &7 &8 &9  \\
3& 5 & 8 & 7 & 6& 9& 4& 1& 2
\end{pmatrix}