TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 324

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Man bestimme zu den Permutationen

\sigma = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6& 7& 8 \\1 & 4 & 5 & 2& 3 & 7 & 6 & 8\end{pmatrix}, \qquad \rho = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6& 7& 8 \\5 & 4 & 2 & 1 & 8 & 7 & 6 & 3\end{pmatrix}

die Permutationen \sigma \circ \rho^2 und \sigma^{-1}\rho^{-1}\sigma^2 sowie deren Zyklendarstellungen und Vorzeichen.

Hilfreiches[Bearbeiten]

\sgn(\pi) = (-1)^{\text{Anzahl Zykel}+\text{Laenge der Permutation}}

Lösungsvorschlag[Bearbeiten]

Für \sigma^2 führt man \sigma 2x hintereinander aus

\sigma^2 =\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6& 7& 8 \\1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8\end{pmatrix}

Deto für \rho^2 :

\rho^2 =\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6& 7& 8 \\8 & 1 & 4 & 5 & 3 & 6 & 7 & 2\end{pmatrix}

Für \sigma^{-1} vertauscht man die 2 Zeilen und sortiert die Spalten so, dass in der oberen Zeile die Zahlen wieder in aufsteigender Reihenfolge sind.

\sigma^{-1} =\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6& 7& 8 \\1 & 4 & 5 & 2 & 3 & 7 & 6 & 8\end{pmatrix}

Deto für \rho^{-1}

\rho^{-1} =\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6& 7& 8 \\4 & 3 & 8 & 2 & 1 & 7 & 6 & 5\end{pmatrix}

Ergebnis der Permutationen von: \sigma \circ \rho^2=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6& 7& 8 \\8 & 1 & 2 & 3 & 5 & 7 & 6 & 4\end{pmatrix}

In Zyklenschreibweise:

\sigma \circ \rho^2 = (18432)(67)

\sgn(\sigma \circ \rho^2) = (-1)^{2+7} = -1

Alternativ betrachtet man die Anzahl von Elementen im Zyklus; bei einer gerade Anzahl vcn Elementen ist das Vorzeichen negativ, bei einer ungeraden Anzahl positiv; bei Permutationen werden die Vorzeichen der Zyklen einfach multipliziert \sgn(\sigma \circ \rho^2) = (1) * (-1) = -1

\sigma^{-1}\rho^{-1}\sigma^2=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6& 7& 8 \\2 & 5 & 8 & 4 & 1 & 6 & 7 & 3\end{pmatrix}

In Zyklenschreibweise:

\sigma^{-1}\rho^{-1}\sigma^2 = (125)(38)

\sgn(\sigma^{-1}\rho^{-1}\sigma^2) = (-1)^{2+5} = -1 oder (-1) * (1) = -1

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