TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 325

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(a) Gegeben sind die Permutationen \pi=(1346), \rho=(134562) und \sigma=(126)(35) der S_6. Man berechne \pi\rho^{-1}\sigma^2 und \pi\rho\sigma^{-2}.

(b) Man schreibe die folgenden Permutationen in Zyklendarstellung bzw. als Produkt von Transpositionen und gebe deren Vorzeichen an:

\pi=\left(\begin{array}{ccccc}1&2&3&4&5\\2&4&5&3&1\end{array}\right), \rho=\left(\begin{array}{cccccc}1&2&3&4&5&6\\3&4&5&6&1&2\end{array}\right),

\sigma=\left(\begin{array}{cccccccccc}1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\7&4&2&9&5&8&1&10&3&6\end{array}\right)

empfehlenswerter link:[Bearbeiten]

https://web.archive.org/web/20180817160910/https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=965

Lösung von P.paulweber 18:48, 2. Mai 2008 (CEST)[Bearbeiten]

Beispiel (a)[Bearbeiten]

Zuerst \pi, \rho und \sigma von der Zyklendarstellung in die normale Darstellung umrechnen:


\begin{align}\\
\pi &= \left(
\begin{array}{cccccc}
1&2&3&4&5&6\\
3&2&4&6&5&1
\end{array}
\right) \\\\
\rho &= \left(
\begin{array}{cccccc}
1&2&3&4&5&6\\
3&1&4&5&6&2
\end{array}
\right) \\\\
\sigma &= \left(
\begin{array}{cccccc}
1&2&3&4&5&6\\
2&6&5&4&3&1
\end{array}
\right)
\end{align}

Dann noch für die spätere Berechnung von \rho und \sigma die inverse Permutation berechnen:


\begin{align}\\
\rho &= \left(
\begin{array}{cccccc}
1&2&3&4&5&6\\
3&1&4&5&6&2
\end{array}
\right) \Rightarrow
\rho^{-1} &= \left(
\begin{array}{cccccc}
3&1&4&5&6&2\\
1&2&3&4&5&6
\end{array}
\right) \Rightarrow
\rho^{-1} &= \left(
\begin{array}{cccccc}
1&2&3&4&5&6\\
2&6&1&3&4&5
\end{array}
\right)
\\\\
\sigma &= \left(
\begin{array}{cccccc}
1&2&3&4&5&6\\
2&6&5&4&3&1
\end{array}
\right) \Rightarrow
\sigma^{-1} &= \left(
\begin{array}{cccccc}
2&6&5&4&3&1\\
1&2&3&4&5&6
\end{array}
\right) \Rightarrow
\sigma^{-1} &= \left(
\begin{array}{cccccc}
1&2&3&4&5&6\\
6&1&5&4&3&2
\end{array}
\right)
\\\\
\end{align}

Berechnen von \pi \circ \rho^{-1} \circ \sigma^2 oder auch \pi \circ \rho^{-1} \circ \sigma \circ \sigma:


\begin{align}\\
\sigma \circ \sigma &=
\left(
\begin{array}{cccccc}
1&2&3&4&5&6\\
2&6&5&4&3&1
\end{array}
\right) \circ
\left(
\begin{array}{cccccc}
1&2&3&4&5&6\\
2&6&5&4&3&1
\end{array}
\right) =
\left(
\begin{array}{cccccc}
1&2&3&4&5&6\\
6&1&3&4&5&2
\end{array}
\right) = \sigma^2
\\\\
\rho^{-1} \circ \sigma^2 &=
\left(
\begin{array}{cccccc}
1&2&3&4&5&6\\
2&6&1&3&4&5
\end{array}
\right) \circ
\left(
\begin{array}{cccccc}
1&2&3&4&5&6\\
6&1&3&4&5&2
\end{array}
\right) =
\left(
\begin{array}{cccccc}
1&2&3&4&5&6\\
5&2&1&3&4&6
\end{array}
\right)
\\\\
\pi \circ \rho^{-1} \circ \sigma^2 &=
\left(
\begin{array}{cccccc}
1&2&3&4&5&6\\
3&2&4&6&5&1
\end{array}
\right) \circ
\left(
\begin{array}{cccccc}
1&2&3&4&5&6\\
5&2&1&3&4&6
\end{array}
\right) =
\left(
\begin{array}{cccccc}
1&2&3&4&5&6\\
5&2&3&4&6&1
\end{array}
\right) = (156) = (15) (56)
\end{align}

Berechnen von \pi \circ \rho \circ \sigma^{-2} oder auch \pi \circ \rho \circ \sigma^{-1} \circ \sigma^{-1}:


\begin{align}\\
\sigma^{-1} \circ \sigma^{-1} &=
\left(
\begin{array}{cccccc}
1&2&3&4&5&6\\
6&1&5&4&3&2
\end{array}
\right) \circ
\left(
\begin{array}{cccccc}
1&2&3&4&5&6\\
6&1&5&4&3&2
\end{array}
\right) =
\left(
\begin{array}{cccccc}
1&2&3&4&5&6\\
2&6&3&4&5&1
\end{array}
\right) = \sigma^{-2}
\\\\
\rho \circ \sigma^{-2} &=
\left(
\begin{array}{cccccc}
1&2&3&4&5&6\\
3&1&4&5&6&2
\end{array}
\right) \circ
\left(
\begin{array}{cccccc}
1&2&3&4&5&6\\
2&6&3&4&5&1
\end{array}
\right) =
\left(
\begin{array}{cccccc}
1&2&3&4&5&6\\
1&2&4&5&6&3
\end{array}
\right)
\\\\
\pi \circ \rho \circ \sigma^{-2} &=
\left(
\begin{array}{cccccc}
1&2&3&4&5&6\\
3&2&4&6&5&1
\end{array}
\right) \circ
\left(
\begin{array}{cccccc}
1&2&3&4&5&6\\
1&2&4&5&6&3
\end{array}
\right) =
\left(
\begin{array}{cccccc}
1&2&3&4&5&6\\
3&2&6&5&1&4
\end{array}
\right) = (13645) = (13) (36) (64) (45)
\end{align}

Bei gerader Anzahl an Zyklen -> - Vorzeichen Bei ungerader Anzahl an Zyklen -> + Vorzeichen

Ich glaub hier sind Transpositionen, nicht Zyklen gemeint -- pauly

Beispiel (b)[Bearbeiten]


\begin{align}
\pi &= \left(
\begin{array}{ccccc}
1&2&3&4&5\\
2&4&5&3&1
\end{array}
\right) = (12435) = (12) (24) (43) (35) \qquad \sgn(\pi) = +1
\\\\
\rho &= \left(
\begin{array}{cccccc}
1&2&3&4&5&6\\
3&4&5&6&1&2
\end{array}
\right) = (135) (246) = (13) (35) (24) (46) \qquad \sgn(\rho) = +1
\\\\
\sigma &= \left(
\begin{array}{cccccccccc}
1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\
7&4&2&9&5&8&1&10&3&6
\end{array}
\right) = (17) (2493) (6810) = (17) (24) (49) (93) (68) (810) \qquad \sgn(\sigma) = +1
\end{align}