TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 326

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Gegeben seien die folgenden Permutationen der  S_8:  \pi = (13746), \rho = (143652) und \sigma=\left(\begin{array}{cccccccc}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8\\1 & 4 & 5 & 2 & 3 & 7 & 6 & 8\end{array}\right)

Berechnen Sie \pi\rho^{-1}\sigma^{2} und \pi^{2}\rho\sigma^{-2} sowie deren Zyklendarstellungen und Vorzeichen.

Lösungsvorschlag[Bearbeiten]

\pi = (13746)

\rho = (143652)

\sigma = (24)(35)(67)

\rho^{-1} = (125634)

\sigma^{2} = (1) = id

\pi \rho^{-1} \sigma^{2} = (13746)(125634)(1) = (13746)(125634) = (125)(6743)

\pi^{2} = (13746)(13746) = (17634)

\sigma^{-1} = (42)(53)(76)

 \sigma^{2} \sigma^{-2} = id daraus folgt, dass: \sigma^{-2} = id

 \pi^{2}\rho\sigma^{-2} = (17634)(143652) = (6527)

Vorzeichen:

Das Vorzeichen einer Permutation ist +1, wenn die Anzahl der Fehlstände gerade ist und -1 wenn die Anzahl der Fehlstände ungerade ist. <br\>Ein Fehlstand ist ein Paar (i, j) mit i > j und \pi(i) < \pi(j).

 sign(\pi\rho^{-1}\sigma^{2}) = -1

 sign(\pi^{2}\rho\sigma^{-2}) = -1