TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 327

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Untersuchen Sie, ob \pi eine Permutation festlegt und geben Sie gegebenenfalls den Graphen, die Zyklendarstellung, sowie die Zyklendarstellung ohne Klammern an:

\pi(k) = 4k + 2 \mod 10, 0 \le k \le 9

Lösung[Bearbeiten]

k 4k + 2 \mod 10
0 2
1 6
2 0
3 4
4 8
5 2
6 6
7 0
8 4
9 8

Wie man sieht ist \pi keine Permutation, und somit sind die restlichen Aufgaben hinfällig.

Lösung mit alternativer Angabe[Bearbeiten]

Die originale Angabe ergibt keine Permutation, allerdings ist der Verdacht naheliegend, dass es sich um einen Schreibfehler handelt. Ändert man die Angabe von

\pi(k) = 4k + 2 \mod 10, 0 \le k \le 9 

auf

\pi(k) = 3k + 2 \mod 10, 0 \le k \le 9 

ergibt sich ein ganz anderes Bild.

\pi(k), k \in \{0,1,2,...,9\} ergibt:

k 3k + 2 \mod 10
0 2
1 5
2 8
3 1
4 4
5 7
6 0
7 3
8 6
9 9

Anders angeschrieben:


\pi =
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\
2 & 5 & 8 & 1 & 4 & 7 & 0 & 3 & 6 & 9
\end{pmatrix}

Bzw. in Zyklenschreibweise und in klammernloser Zyklenschreibweise (vergleiche Bsp 122):


\pi =
\left(0,2,8,6\right)
\left(1,5,7,3\right)
\left(4\right)
\left(9\right) = 
\left(9\right)
\left(4\right)
\left(1,5,7,3\right)
\left(0,2,8,6\right) =
9,4,1,5,7,3,0,2,8,6

mfg, --W wallner