TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 33

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Man bestimme rechnerisch (ohne Taschenrechner) und graphisch Summe und Produkt der komplexen Zahlen z_1 = 3-4i und {\textstyle z_2 = [2,\frac{\pi}{2}]}.

Hilfreiches[edit]

Addition komplex
Addition komplex[edit]

Addition von komplexen Zahlen in kartesischer Darstellung:

(a+\mathsf{i}b)+(c+\mathsf{i}d)=(a+c)+\mathsf{i}(b+d)
Multiplikation komplex
Multiplikation komplex[edit]

Multiplikation von komplexen Zahlen in Polar-Darstellung:

[r_1, \varphi_1]\cdot[r_2, \varphi_2]=[r_1\cdot r_2, \varphi_1+\varphi_2]

\Rightarrow Division in Polar-Darstellung:

\frac{[r_1, \varphi_1]}{[r_2, \varphi_2]}=[r_1/r_2, \varphi_1-\varphi_2]

Lösungsvorschlag[edit]

{\textstyle z_2 = [2,\frac{\pi}{2}]} entspricht 2i (da der Radius r = 2 und der Winkel {\textstyle \phi = \frac{\pi}{2}} ist \longrightarrow nur auf imaginärer Achse, kein Realteil.)


\begin{align}
z_1 + z_2 &= (3 - 4i) + 2i = 3 - 2i \\
z_1 \cdot z_2 &= (3 - 4i) \cdot 2i = 6i - 8i^2 = 6i - (-8) = 8 + 6i
\end{align}


Graphisch entspricht die Addition zweier komplexen Zahlen einfach einer Vektoraddition und die Multiplikation einer Dreh-Streckung. Also der neue Winkel ist die Summe beider Winkel und die Länge r bildet sich aus dem Produkt beider Längen.