TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 331

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Gegeben seien die folgenden binären Operationen \bullet auf der Menge A. Man untersuche die Operationen in Hinblick auf Assoziativität, Kommutativität sowie auf Existenz von neutralen oder inversen Elementen.

(a) A = \{-1,0,1\}, \bullet \text{gewoehnliche Multiplikation}

(b) A = \mathbb N, a \bullet b = 2^{ab}

(c) A = \mathbb Q, a \bullet b = ab + 1

(d) A = \mathbb R, a \bullet b = |a + b|

(e) A \neq \emptyset, a \bullet b = a

Angabe[Bearbeiten]

Gegeben seien die folgenden zweistelligen partiellen Operationen \circ in der Menge M. Man untersuche, in welchem Fall eine Operation in der Menge M vorliegt. Welche Operationen sind assoziativ, welche kommutativ?

Lösungsvorschlag von mnemetz[Bearbeiten]

(a)[Bearbeiten]

M = \{(1,0,1\}, gewöhnliche Addition bzw. Multiplikation)

Addition: abgeschlossen, kommutativ, assoziativ

Multiplikation: 0*0 = 0, 0*1 = 0, 1*1 = 1 - abgeschlossen, kommutativ, assoziativ

Was ist mit (1 gemeint? Ich würde auch sagen dass hier keine algebraische Struktur vorliegt, da die Addition NICHT abgeschlossen ist. ZB. 1+1=2, nicht enthalten.

In der Übung hat Prof. Panholzer gemeint, dass bei M = \{1,0,1\} die letzte 1 zuviel ist, also M = \{1,0\} \Rightarrow abgeschlossen

BEI MEINER ANGABE STEHT M={-1,0,1} UND NICHT WIE HIER M={1,0,1}! Trotzdem muss man 1 + 1 = 2 --> also nicht in M enthalten. Also nicht abgeschlossen bzgl. der Addition. Oder? ---

[Lösungsvorschlag von wimron][Bearbeiten]

Operationstafel (auch Cayley-Tafel genannt; * steht für Multiplikation)

* -1 0 1
-1 1 0 -1
0 0 0 0
1 -1 0 1

Abgeschlossen? Ja, da jede Multiplikation zweier Elemente aus A wieder ein Element aus A ergibt.

Assoziativ? (-1 * 0) * 1 = 0

-1 * (0 * 1) = 0

(begründet durch die Assoziativität der Multiplikation auf Z) Also ja, assoziativ.

Kommutativ? Bsp: -1 * 0 = 0

0 * -1 = 0

(Begründet durch die Kommutativität der Multiplikation auf Z) Also ja, kommutativ.

Existenz eines neutralen Elements? a * e = e * a = 0 (Anmerkung: a * e = e * a = a)

Neutrales Element ist 1, da:

-1 * 1 = -1

0 * 1 = 0

1 * 1 = 1

Inverses Element? Nein. Da a * a^-1 = a^-1 * a = e

Einsetzen:

-1 * (-1)^1 = 1

-1 * 1 = 1 (stimmt nicht, daher kein Inverses)

(b)[Bearbeiten]

M = \mathbb{N}, a \circ b = 2^{ab}

Abgeschlossen ja, kommutativ ja

2^{2^{ab} \cdot c} \neq 2^{2^{bc} \cdot a} \Rightarrow nicht assoziativ!

Anmerkung von mick:

Ist das nicht falsch? Gehört nicht: a ring b = 2^a*(2^b*2^c) = (2^a*2^b)*2^c

Anmerkung zur Anmerkung
von Vodi
Ich glaube, mick's Folgerung ist Falsch, da 2^a * 2^b = 2^{a+b}. Siehe Potenzgesetze, 4. Reihe.

Ich glaube, dass hier etwas falsch verstanden wurde es handelt sich hier um ((2^a)^b) = 2^ab daraus folgt, dass hier sehr wohl die assoziativität gilt weil  (((2^a)^b)^c) => (((2^b)^a)^c)

lasse mich aber auch eines besseren belehren

Edit vom 2.07.14: Ich denke mittels Substitution kann man sich gut veranschaulichen in welcher Reihenfolge die Operationen ausgeführt werden. Da in der Angabe nicht steht wie 2^{ab} zustande kommt würde ich stur mach der Regel arbeiten.\\  (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) \rightarrow 2^{ab} \cdot c = y \cdot c = 2^{yc} = 2^{2^{ab}c} \neq a \cdot 2^{bc} = a \cdot y = 2^{ay} =2^{a2^{bc}}

(c)[Bearbeiten]

M = \mathbb{Q}, a \circ b = ab + 1

abgeschlossen ja, kommutativ ja

Assoziativ:

(a \circ b) \circ c =  (ab + 1) \circ c = (ab + 1) \cdot c + 1 = abc + c + 1

a \circ (b \circ c) =  a \circ (bc + 1) = a \cdot (bc + 1) + 1 = abc + a + 1

Nicht gleich, daher nicht assoziativ!

(d)[Bearbeiten]

M = \mathbb{R}, a \circ b = |a + b|

abgeschlossen ja, kommutativ ja

Assoziativ:

Setze a =4, b = -3, c = -5

(a \circ b) \circ c = ||a + b| + c| = 4

a \circ (b \circ c) = |a + |b + c|| = 12

Nicht gleich, daher nicht assoziativ!

(e)[Bearbeiten]

M \neq \varnothing, a \circ b = a

abgeschlossen ja, kommutativ nein, denn a \circ b = a, aber b \circ a = b

Assoziativ:

(a \circ b) \circ c = b \circ c = c

a \circ (b \circ c) = a \circ c = c

(Ich glaube hier wurde etwas falsch gerechnet, weil (a \circ b) = a Meine Lösung wäre:)

(a \circ b) \circ c = a \circ c = a

a \circ (b \circ c) = a \circ b = a