TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 332

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Man zeige, dass \langle \mathbb{Z}, \circ \rangle mit der Operation

\begin{align}a \circ b & = a + b -a*b & & & & \forall a,b \in \mathbb{Z}\end{align}

eine Halbgruppe ist. Gibt es ein neutrales Element? Wenn ja, welche Elemente haben Inverse?

Hilfreiches[edit]

Gruppeneigenschaften
Gruppeneigenschaften[edit]

Gesetze und Eigenschaften von algebraischen Strukturen

Eine algebraische Struktur ist eine nichtleere Menge G mit einer oder mehreren Operationen.

Folgende Eigenschaften kann eine solche Struktur annehmen:

  1. Abgeschlossenheit: für a,b \in G ist a \circ b \in G (d.h. ist eindeutig zugeordnet). Das \circ entspricht einer Funktion  \circ: G \times G \rightarrow G
  2. Assoziativgesetz: a \circ (b \circ c) = (a \circ b) \circ c für alle a,b,c \in G.
  3. Einheitselement: Es existiert ein e \in G, so dass für alle a \in G gilt: a \circ e = e \circ a = a.
  4. Inverses Element: Für jedes a \in G gibt es ein inverses Element a' \in G (oder auch a^{-1}) so, dass gilt a \circ a' = a' \circ  a = e. Wobei das e das Einheitselement ist.
  5. Kommutativgesetz: a \circ b = b \circ a für alle a,b \in G.
Nr. Gruppoid Halbgruppe Monoid Gruppe Abelsche Gruppe
1
2
3
4
5

Lösungsvorschlag von mnemetz 0[edit]

Basierend auf f.thread:37761 !

Abgeschlossenheit[edit]

Die Operationen *,+,- sind abgeschlossen. Wenn gilt, dass a,b \in \mathbb{Z} sind, folgt dass a*b und a+b und a-b Element aus \mathbb{Z} sind.

Daher ist die Abgeschlossenheit gegeben.

Assoziativität[edit]

Es muss gelten: a \circ (b \circ c) = (a \circ b) \circ c für alle a,b,c \in \mathbb{Z}.


\begin{align}
(a \circ b) \circ c &= a \circ (b \circ c) \\
(a + b - ab) \circ c &= a \circ (b + c - bc) \\
(a + b - ab) + c - ((a + b - ab) \cdot c) &= a + (b + c - bc) - (a \cdot (b + c - bc)) \\
a + b - ab + c - (ac + bc - abc) &= a + b + c - bc - (ab + ac - abc) \\
a + b - ab + c - ac - bc + abc &= a + b + c - bc - ab - ac + abc \\
a + b + c - ab - ac - bc + abc &= a + b + c - ab - ac - bc + abc
\end{align}

Beide Seiten sind gleich, daher ist die Assoziativität gegeben.

Neutrales Element[edit]

Es muss gelten: a \circ e = e \circ a = a

a+e - a*e = a \qquad| -a

e - a*e = 0 \qquad| e-rausheben

e*(1-a) = 0 \qquad| / (1-a)

\mathbf{e = 0}

Inverse Elemente[edit]

Es muss gelten: a \circ a' = a' \circ  a = e

a+a'-a*a' = e

a'-a*a' = e-a

a'*(1-a) = e-a

a'=\frac{(e-a)}{(1-a)}

\mathbf{a'=\frac{(-a)}{(1-a)}}

Für die Elemente 0 und 2 existiert ein inverses Element.

[Anmerkung von David Mihola: Wieso nur für 0 und 2? Es müsste doch für jedes a, für das der Ausdruck in der letzten Zeile definiert ist (also für alle außer 1) ein inverses Element geben, oder? Und: Sagt man, das neutrale Element ist sein eigenes Inverses?]

[Antwort vom moep: wir bewegen uns in den ganzen Zahlen \mathbb{Z}, alles andere wuerde ja einen Bruch ergeben, siehe dazu den thread im informatik-forum http://www.informatik-forum.at/showthread.php?81297-Beispiel-37-aus-der-%DCbung ]

Kommutativität[edit]

Es muss gelten: a \circ b = b \circ a

  • a \circ b = a + b - ab
  • b \circ a = b + a - ba

Somit ist die Kommutativität gegeben.

Schlussfolgerung[edit]

Es liegt ein Monoid vor.

Anmerkung: Damit ein Monoid vorliegt, muss für jedes Element aus der Gruppe ein Inverses existieren. Dies ist offensichtlich nicht der Fall (3 und 0 haben kein Inverses, als einfaches Gegenbeispiel). Hier handelt es sich nur um eine Halbgruppe. -- luis

Es ist auf jeden Fall ein Monoid, siehe Buch Seite 73. Wenn jedes Element ein Inverses besitzt, handelt es sich um eine Gruppe.

In der neuen Auflage Buch Seite 80 ganz unten.

[ Anmerkung von ilaViCion: Genauer gesagt ein kommutativer Monoid. ]