TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 34

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Man bestimme rechnerisch und graphisch Summe und Produkt der komplexen Zahlen z1 und z2:

z1 = 4 + 5i, z2 = [2,-\frac{\pi}{4}]

Lösungsvorschlag[Bearbeiten]

Damit man rechnen kann, muss man die Polarkoordianten von z2 umformen. \pi/4 entspricht dem Winkel von 45 Grad, 2 ist der Radius, daher die Katheten \sqrt{2} . Somit ist ergibt sich: z_2 = \sqrt{2} - \sqrt{2}i

Der Realteil und der Imaginärteil von z2 lassen sich auch mit dem Satz von Pythagoras berechnen:

Re(z) = r * cos φ = 2 * cos (- π/4) = \sqrt{2}

Im(z) = r * sin φ = 2* sin (- π/4) = -\sqrt{2}

Daraus folgt: z_2 = \sqrt{2} - \sqrt{2}i

 Z1 = 	     4 + 5i 		
 z2 = 	 \sqrt{2} - \sqrt{2}i		
 z1 + z2 = (4+\sqrt{2}) +(5-\sqrt{2})i 	
 z1 * z2 = (4+5i)*(\sqrt{2}-\sqrt{2}i) = 4\sqrt{2}-4\sqrt{2}i+5\sqrt{2}i - 5\sqrt{2}i^2 = 9\sqrt{2} + \sqrt{2}i 

Graphische Darstellung der Additon in der Gausschen Zahlenebene durch Parallelogramm!

Hapi

Graphische Darstellung der Multiplikation mittels Drehstreckung.