TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 341

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Untersuchen Sie, ob die Menge M mit der Operation  \circ ein Gruppoid, eine Halbgruppe, ein Monoid bzw. eine Gruppe ist.

M = \mathfrak{P}(A), d.h. die Potenzmenge der Menge A, B \circ C = B \cup C

Hilfreiches[Bearbeiten]

Gruppeneigenschaften
Gruppeneigenschaften[Bearbeiten]

Gesetze und Eigenschaften von algebraischen Strukturen

Eine algebraische Struktur ist eine nichtleere Menge G mit einer oder mehreren Operationen.

Folgende Eigenschaften kann eine solche Struktur annehmen:

  1. Abgeschlossenheit: für a,b \in G ist a \circ b \in G (d.h. ist eindeutig zugeordnet). Das \circ entspricht einer Funktion  \circ: G \times G \rightarrow G
  2. Assoziativgesetz: a \circ (b \circ c) = (a \circ b) \circ c für alle a,b,c \in G.
  3. Einheitselement: Es existiert ein e \in G, so dass für alle a \in G gilt: a \circ e = e \circ a = a.
  4. Inverses Element: Für jedes a \in G gibt es ein inverses Element a' \in G (oder auch a^{-1}) so, dass gilt a \circ a' = a' \circ  a = e. Wobei das e das Einheitselement ist.
  5. Kommutativgesetz: a \circ b = b \circ a für alle a,b \in G.
Nr. Gruppoid Halbgruppe Monoid Gruppe Abelsche Gruppe
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3
4
5

Lösungsvorschlag von mnemetz[Bearbeiten]

Basierend auf f.thread:37701

Abgeschlossenheit: Wenn gilt, dass B,C \in \mathfrak{P}(A), folgt daraus, dass auch B \cup C \in \mathfrak{P}(A). Abgeschlossenheit ist gegeben.

Assoziativität: Es muss gelten: B \cup (C \cup D) = (B \cup C) \cup D für alle B,C,D \in \mathfrak{P}(A). Dies ist wahr.

Existenz eines neutralen Elements e: es muss gelten B \cup e = e \cup B= B \qquad \forall B \in \mathfrak{P}(A). e = \varnothing(leere Menge). Dies ist wahr.

Existenz eines inversen Elements B' es muss gelten B \cup B' = B' \cup B = e \qquad \forall B \in \mathfrak{P}(A). Aber B \cup B'= B' \cup B \neq \varnothing. Es existiert kein inverses Element B´.

Es liegt ein Monoid vor.