TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 342

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Untersuchen Sie, ob die Menge M mit der Operation  \circ ein Gruppoid, eine Halbgruppe, ein Monoid bzw. eine Gruppe ist.

M = \mathfrak{P}(A), d.h. die Potenzmenge der Menge A, B \circ C = B \cap C

Hilfreiches[Bearbeiten]

Gruppeneigenschaften
Gruppeneigenschaften[Bearbeiten]

Gesetze und Eigenschaften von algebraischen Strukturen

Eine algebraische Struktur ist eine nichtleere Menge G mit einer oder mehreren Operationen.

Folgende Eigenschaften kann eine solche Struktur annehmen:

  1. Abgeschlossenheit: für a,b \in G ist a \circ b \in G (d.h. ist eindeutig zugeordnet). Das \circ entspricht einer Funktion  \circ: G \times G \rightarrow G
  2. Assoziativgesetz: a \circ (b \circ c) = (a \circ b) \circ c für alle a,b,c \in G.
  3. Einheitselement: Es existiert ein e \in G, so dass für alle a \in G gilt: a \circ e = e \circ a = a.
  4. Inverses Element: Für jedes a \in G gibt es ein inverses Element a' \in G (oder auch a^{-1}) so, dass gilt a \circ a' = a' \circ  a = e. Wobei das e das Einheitselement ist.
  5. Kommutativgesetz: a \circ b = b \circ a für alle a,b \in G.
Nr. Gruppoid Halbgruppe Monoid Gruppe Abelsche Gruppe
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Lösungsvorschlag von mnemetz[Bearbeiten]

Basierend auf f.thread:37701

Abgeschlossenheit: Wenn gilt, dass B,C \in \mathfrak{P}(A), folgt daraus, dass auch B \cap C \in \mathfrak{P}(A). Abgeschlossenheit ist gegeben.

Assoziativität: Es muss gelten: B \cap (C \cap D) = (B \cap C) \cap D für alle B,C,D \in \mathfrak{P}(A). Dies ist wahr, wie die folgenden Venn-Diagramme für beide Sachverhalte (B \cap C) \cap D = B \cap (C \cap D) (rechts bzw. links) zeigen!

Bsp225 1.png

Das neutrale Element ist nicht die leere Menge, sondern A.Egal, welche Menge B man mit A schneidet, es kommt wieder die Menge B heraus. Das einzige Element, das invertierbar ist, ist wiederum A, (neutrales Element ist immer invertierbar), denn für jede echte Teilmenge B von A existiert keine Menge C, so daß B geschnitten C gleich A ist.

Die Operation ist kommutativ.

Folgerung: Für A = {} handelt es sich um eine kommutative Gruppe, für A \neq \{\} um ein kommutatives Monoid.

Siehe auch: f.thread:37912