TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 343

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Untersuchen Sie, ob die Menge M mit der Operation ein Gruppoid, eine Halbgruppe, ein Monoid bzw. eine Gruppe ist.

, d.h. die Potenzmenge der Menge A, (die symmetrische Differenz)

Definition der symmetrischen Differenz[edit]

C heißt symmetrische Differenz der Mengen A und B,

,

wenn C alle Elemente aus A enthält, die nicht zu B gehören und alle Elemente aus B, die nicht zu A gehören, d.h.:

VENN-Diagramm:

Praes22 symmdiff.png

Theoretische Grundlagen (Zusammenfassung von mnemetz)[edit]

Gesetze und Eigenschaften von algebraischen Strukturen

Eine algebraische Struktur ist eine nichtleere Menge G mit einer oder mehreren Operationen.

Folgende Eigenschaften kann eine solche Struktur annehmen:

  1. Abgeschlossenheit: , für (d.h. ist eindeutig zugeordnet). Das entspricht einer Funktion von
  2. Assoziativgesetz: für alle .
  3. Einheitselement: Es existiert ein , so dass für alle gilt: .
  4. Inverses Element: Für jedes gibt es ein inverses Element (oder auch ) so, dass gilt . Wobei das e das Einheitselement ist.
  5. Kommutativgesetz: für alle .
  Nr.   Gruppoid   Halbgruppe   Monoid   Gruppe   Abelsche Gruppe
  1     X          X            X        X        X
  2                X            X        X        X
  3                             X        X        X
  4                                      X        X
  5                                               X

Lösungsvorschlag von mnemetz[edit]

Abgeschlossenheit[edit]

Wie schon aus den VENN-Diagrammen hervorgeht, ist eine Abgeschlossenheit gegeben.

Assoziativität[edit]

Praes22 assoziativ2.png

Es liegt die Assoziativität vor!

Man könnte dies mit der Elementtafel nachweisen (Auszug):

\ \
\ \
\ \

neutrales Element (Einheitselement)[edit]

Das neutrale Element existiert', es ist die leere Menge , denn .

Inverses Element[edit]

Auch das inverse Element existiert, und zwar A' = A: jedes Element ist zu sich selbst invers denn

ist im folgenden das Komplement von A

Beruhend auf dem Gesetzen von de Morgan und dem Distributivgesetz folgt dann:

Versuch einer Erklärung zu f.thread:37942 --Mnemetz 20:39, 12. Dez 2005 (CET)

Kommutativität[edit]

Auch eine Kommutativität liegt vor.

- die symmetrische Differenz ist daher kommutativ

Schlussfolgerung[edit]

Es liegt eine Abelsche Gruppe vor.

Webressourcen[edit]