TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 347

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Untersuchen Sie, ob die Menge M mit der Operation  \circ ein Gruppoid, eine Halbgruppe, ein Monoid bzw. eine Gruppe ist.

M = \mathbb{Q}, a \circ b = a*b + 1

Hilfreiches[Bearbeiten]

Gruppeneigenschaften
Gruppeneigenschaften[Bearbeiten]

Gesetze und Eigenschaften von algebraischen Strukturen

Eine algebraische Struktur ist eine nichtleere Menge G mit einer oder mehreren Operationen.

Folgende Eigenschaften kann eine solche Struktur annehmen:

  1. Abgeschlossenheit: für a,b \in G ist a \circ b \in G (d.h. ist eindeutig zugeordnet). Das \circ entspricht einer Funktion  \circ: G \times G \rightarrow G
  2. Assoziativgesetz: a \circ (b \circ c) = (a \circ b) \circ c für alle a,b,c \in G.
  3. Einheitselement: Es existiert ein e \in G, so dass für alle a \in G gilt: a \circ e = e \circ a = a.
  4. Inverses Element: Für jedes a \in G gibt es ein inverses Element a' \in G (oder auch a^{-1}) so, dass gilt a \circ a' = a' \circ  a = e. Wobei das e das Einheitselement ist.
  5. Kommutativgesetz: a \circ b = b \circ a für alle a,b \in G.
Nr. Gruppoid Halbgruppe Monoid Gruppe Abelsche Gruppe
1
2
3
4
5

Lösungsvorschlag von mnemetz[Bearbeiten]

Entnommen aus f.thread:37703 .

Abgeschlossenheit[Bearbeiten]

Wenn a,b \in  \mathbb{Q}, muss auch gelten: a \circ b \in  \mathbb{Q}, daraus folgt a*b + 1 \in  \mathbb{Q}. Ist erfüllt.

Zum Beweis der Abgeschlossenheit kann man wie folgt vorgehen: Da a,b \in  \mathbb{Q} kann man schreiben: a = \frac{p}{q}, b = \frac{r}{s}

Jetzt einsetzen:

a*b + 1 = \frac{p}{q}*\frac{r}{s} + 1 = \frac{p*r}{q*s} + 1 = \frac{p*r + q*s}{q*s}

Und das ist wieder \in  \mathbb{Q}

Abgeschlossenheit ist somit gegeben.

Assoziativität[Bearbeiten]

Es muss gelten: a \circ (b \circ c) = (a \circ b) \circ c für alle a,b,c \in M.

  • Linke Seite: a \circ (b*c + 1) = a*b*c + a + 1
  • Rechte Seite: (a*b + 1) \circ c = a*b*c + c + 1

Wenn man die beiden Seiten gleichsetzt, erhält man: a = c

Widerspruch. Assoziativität ist nicht gegeben.

Schlussfolgerung[Bearbeiten]

Es liegt ein Gruppoid vor.