TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 348

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Untersuchen Sie, ob die Menge M mit der Operation  \circ ein Gruppoid, eine Halbgruppe, ein Monoid bzw. eine Gruppe ist.

M = \mathbb{Q} \backslash \{1\}, a \circ b = a + b - ab

Hilfreiches[Bearbeiten]

Gruppeneigenschaften
Gruppeneigenschaften[Bearbeiten]

Gesetze und Eigenschaften von algebraischen Strukturen

Eine algebraische Struktur ist eine nichtleere Menge G mit einer oder mehreren Operationen.

Folgende Eigenschaften kann eine solche Struktur annehmen:

  1. Abgeschlossenheit: für a,b \in G ist a \circ b \in G (d.h. ist eindeutig zugeordnet). Das \circ entspricht einer Funktion  \circ: G \times G \rightarrow G
  2. Assoziativgesetz: a \circ (b \circ c) = (a \circ b) \circ c für alle a,b,c \in G.
  3. Einheitselement: Es existiert ein e \in G, so dass für alle a \in G gilt: a \circ e = e \circ a = a.
  4. Inverses Element: Für jedes a \in G gibt es ein inverses Element a' \in G (oder auch a^{-1}) so, dass gilt a \circ a' = a' \circ  a = e. Wobei das e das Einheitselement ist.
  5. Kommutativgesetz: a \circ b = b \circ a für alle a,b \in G.
Nr. Gruppoid Halbgruppe Monoid Gruppe Abelsche Gruppe
1
2
3
4
5

Lösungsvorschlag von mnemetz[Bearbeiten]

Abgeschlossenheit[Bearbeiten]

Für alle Elemente a und b aus der gegebenen Menge M soll bei der vorgeschriebenen Operation gelten, dass das Ergebnis wieder ein Element der gegebenen Menge M ist.

Vorschlag von mnemetz[Bearbeiten]

Da die gegebene Menge M die Menge \mathbb{Q} ohne 1 ist, müssen wir untersuchen, ob der Ausdruck a + b - ab überhaupt Eins ergeben kann. Prüfen wir also:

a + b - ab = 1
 a - ab = 1 - b
a*(1 - b) = 1 - b
a = \frac{1 - b}{1 - b}
a = 1

(und b = 0)

Analog mit b zu verfahren (b = 1, a = 0).

Schlussfolgerung: Das Ergebnis der Operation a \circ b ist nur dann 1, wenn entweder a oder b 1 sind, aber das ist von vornherein ausgeschlossen. Daher ist die Abgeschlossenheit gegeben.

Vorschlag aus dem Informatikforum (editiert von mnemetz)[Bearbeiten]

Nach: http://informatik-forum.at/showthread.php?p=276443

Behauptung: Sei a, b \in \mathbb{Q}, a \neq 1, b \neq 1. Dann ist a + b - ab \neq 1

Indirekter Beweis: Sei a + b - ab = 1.

Aus a+b-ab=1 erhalte ich a-ab = 1-b.

Für a \neq 0 folgt nun: a(1-b) = 1-b (für a=0 ist, wegen 0+b-0b=1, b=1 ein Widerspruch zur VS)

(weil b \neq 1) => a = \frac{1-b}{1-b} = 1 (Widerspruch)

Daher: Abgeschlossenheit gegeben

Assoziativität[Bearbeiten]

Damit Assoziativität gegeben ist, muss gelten: a \circ (b \circ c) = (a \circ b) \circ c .

Prüfen wir nun:

  • Linke Seite: a \circ (b + c - bc) = a + b + c - bc - ab - ac + abc
  • Rechte Seite: (a + b - ab) \circ c = a + b - ab + c - ac - bc + abc

Beide Seiten sind gleich: daher ist die Assoziativität gegeben.

Einheitselement[Bearbeiten]

Für ein Einheitselement e aus M muss gelten: a \circ e = e \circ a  = a

Wir prüfen also:

a \circ e = a + e - ae = a

Klar scheint nun, dass das Einheitselement e 0 sein muss. Daher existiert ein Einheitselement e.

Inverses Element[Bearbeiten]

Bei der Operation a \circ a' = a' \circ a = e soll das Einheitselement e herauskommen. Prüfen wir also:

Vorschlag von mnemetz (offensichtlich falsch)[Bearbeiten]

a \circ a' = 0

a + a' - aa' = 0

Es existiert daher ein inverses Element a'.

Einwand von Daniela (dadar) und Christoph (ChristophM), dokumentiert von mnemetz[Bearbeiten]

Dadar: Meiner Meinung nach (bin mir nicht so sicher) existiert kein inverses Element von a, weil wenn a zB 2 dann gilt 2-2-2*(1/2)=-1. Es funktioniert nur wenn man a=0 setzt???

Wenn jetzt a \circ a'= 0 sein soll, dann folgt daraus:

a+a'-a'*a=0

a+a'*(1-a)=0

a'*(1-a)=-a

a'= - \frac{a}{1-a}

Das ist das inverse Element. Dabei darf a nicht 1 sein, sonst erfolgt die Division durch Null, jedoch ist 1 sowieso ausgeschlossen (M = \mathbb{Q} \backslash \{1\}).

Es existiert für jedes Element a aus M ein invereses Element a' .

(1 ist sowieso ausgenommen, das inverse Element von a=3 wäre a'=\frac{3}{2}, und es führt zu einem korrekten Ergebnis)

Dass wir zuerst eine Fehlannahme hatten ist darauf zurückzuführen, dass wir zuerst nur die notwendige Ausschließung von 1 betrachtet hatte, und nicht weiter. Danke, ChristophR in f.thread:37787 !

Kommutativität[Bearbeiten]

Es muss gelten: a \circ b = b \circ a

  • a \circ b = a + b - ab
  • b \circ a = b + a - ba

Somit ist die Kommutativität gegeben.

Schlussfolgerung[Bearbeiten]

Es liegt somit eine Abelsche Gruppe vor.