TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 349

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Untersuchen Sie, ob die Menge M mit der Operation  \circ ein Gruppoid, eine Halbgruppe, ein Monoid bzw. eine Gruppe ist.

M = \mathbb{Q} \backslash \{0\}, a \circ b = a/b

Folgende Eigenschaften kann eine solche Struktur annehmen:

  1. Abgeschlossenheit: G \times G = G, für a,b \in G \rightarrow a \circ b \in G (d.h. ist eindeutig zugeordnet). Das \circ entspricht einer Funktion von  \circ : G \times G \rightarrow G
  2. Assoziativgesetz: a \circ (b \circ c) = (a \circ b) \circ c für alle a,b,c \in G.
  3. Einheitselement: Es existiert ein e \in G, so dass für alle a \in G gilt: a \circ e = e \circ a = a.
  4. Inverses Element: Für jedes a \in G gibt es ein inverses Element a' \in G (oder auch a^{-1}) so, dass gilt a \circ a' = a' \circ  a = e. Wobei das e das Einheitselement ist.
  5. Kommutativgesetz: a \circ b = b \circ a für alle a,b \in G.
  Nr.   Gruppoid   Halbgruppe   Monoid   Gruppe   Abelsche Gruppe
  1     X          X            X        X        X
  2                X            X        X        X
  3                             X        X        X
  4                                      X        X
  5                                               X

Lösungsvorschlag von bonomat[Bearbeiten]

Abgeschlossenheit[Bearbeiten]

Wenn a,b \in  \mathbb{Q}, muss auch gelten: a \circ b \in  \mathbb{Q}, daraus folgt  a / b \in  \mathbb{Q}. Ist erfüllt.

Zum Beweis der Abgeschlossenheit kann man wie folgt vorgehen: Da a,b \in  \mathbb{Q} kann man schreiben: a = \frac{p}{q}, b = \frac{r}{s}

Jetzt einsetzen:

 a / b =\frac { \frac{p}{q} } {\frac{r}{s}} = \frac{p*s}{q*r}

Und das ist wieder \in  \mathbb{Q}

Assoziativität[Bearbeiten]

Es muss gelten: a \circ (b \circ c) = (a \circ b) \circ c für alle a,b,c \in M.

bei uns ist das dann:

 \frac {\frac {a}{b}} {\frac{c}{1}} = \frac {a*1}{b*c} und

 \frac {\frac {a}{1}} {\frac{b} {c}} = \frac {a*c}{b*1}

also

links und rechts kommt nicht das gleiche heraus. nicht assoziativ.

Denke das Stimmt so nicht: (a\circ b)\circ c = a\circ (b\circ c)

a/b \circ c = a \circ b/c

a/b/c = a/b/c

Sprich sind gleich! Falsch. Setz mal zahlen ein

(45:15):3 = 45: (15:3) woraus folgt 3:3 = 45: 3 woraus folgt 1 = 15 was nicht stimmen kann

Neutrales Element[Bearbeiten]

a\circ e = a

a/e = a

e=1

Inverses Element[Bearbeiten]

a\circ a' = e

a/a' = 1

a' = 1/a

beispiel: a= 5 \Longrightarrow a' = 1/5 und 5/1/5 = 1 !!

==> GRUPPE

Schlussfolgerung[Bearbeiten]

Es liegt ein Gruppoid vor.

Jetzt dann doch ne Gruppe und kein Gruppoid oder?